英ストーンヘンジ近くに新遺跡、約90個の巨石列柱を地中に発見 2015年09月08日 08:40 発信地：ロンドン/英国 科学・技術

英ストーンヘンジ近くに新遺跡、約90個の巨石列柱を地中に発見
2015年09月08日 08:40　発信地：ロンドン/英国
科学・技術

英ストーンヘンジ近くに新遺跡、約90個の巨石列柱を地中に発見
写真拡大×英ストーンヘンジ世界遺産遺跡内に新たに見つかった巨石群のイメージ図。ルートビヒ・ボルツマン研究所が作成したものを英国科学協会が公開（2015年9月7日提供）。(c)AFP/ Ludwig Boltzmann Institute for Archaeological Prospection and Virtual Archaeology 【メディア・報道関係・法人の方】写真購入のお問合せはこちら
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【9月8日 AFP】英国の有名な古代遺跡「ストーンヘンジ（Stonehenge）」の近くで地中に埋もれた先史時代の謎の巨石群遺跡を発見したと、英大学などの考古学者チームが7日、発表した。最大90個の直立巨石は、当初の高さ約4.5メートルで、約4500年前のものとみられる。土塁の下に数千年間、埋もれていた可能性があるという。

調査チームによると、新たな巨石群が最先端センサー技術によって見つかったのは、ストーンヘンジから3キロ足らずの距離にある遺跡「ダーリントン・ウォールズ （Durrington Walls）」。直径500メートル、外周1.5キロ以上に及ぶ「スーパーヘンジ」と呼ばれる環状遺跡で、幅17.6メートルの溝と高さ約1メートルの土塁に囲まれているが、遺跡の一方の側面が直線状で、他方は湾曲している点が長年、考古学上の謎とされてきた。

英ブラッドフォード大学（University of Bradford）のビンセント・ギャフニー（Vincent Gaffney）氏は、英国放送協会（BBC）の取材に「ダーリントン・ウォールズは巨大構造物で、これまでは単に巨大な土塁と溝の囲いからなると考えられていた。だが、この巨大構造物の下に、別の構造物が存在している」と語った。
発掘調査はまだ行われていないが、新たに発見された巨石群が押し倒された上に、ダーリントン・ウォールズの環状土塁が築かれたと考えられている。ストーンヘンジ世界遺産遺跡（Stonehenge World Heritage Site）内にあるダーリントン・ウォールズは、直立した石や木が円形に並ぶ「ヘンジ」と呼ばれる遺跡の中では最大規模を誇る。
調査チームによると、直線状の土塁の端が実際は「C字型」の巨石構造物の上に位置していることが、地中探知レーダーによって判明したという。この構造物は、新石器時代に宗教的儀式や集会を行う場として使用されていた可能性があるという。

■一部はストーンヘンジの石材に？

 今回の発見は、英バーミンガム大学（University of Birmingham）とオーストリア・ウィーン（Vienna）のルートビヒ・ボルツマン研究所（Ludwig Boltzmann Institute for Archaeological Prospection and Virtual Archaeology、LBI ArchPro）が共同で進める「ストーンヘンジ地中景観プロジェクト（Stonehenge Hidden Landscapes Project）」の成果だ。
プロジェクト創始者であるルートビヒ・ボルツマン研究所のウォルフガンク・ノイバウアー（Wolfgang Neubauer）所長は、「非常に重要で素晴らしい発見」と評した上で、巨石構造物は当初、最大200個の石で構成されていた可能性があると指摘した。
ノイバウアー所長によると「現在存在しない石は、後にストーンヘンジを建造する石材に使われたかもしれない」と述べ、残された巨石について、移動を試みた際に壊されたとの見方を示している。(c)AFP/Ruth HOLMEShttp://www.afpbb.com/articles/-/3059676


\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 212: What are reproducing kernels?}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\

\date{}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall state simply a general meaning for reproducing kernels. We would like to answer the general and essential question that: what are reproducing kernels?
\bigskip
\section{ Introduction}
\medskipBased on \cite{ss,ss2}, we would like to introduce the concept of reproducing kernels and at the same time, we would like to answer the general and essential question that: what are reproducing kernels?
\bigskip
\section{ What is a reproducing kernel}
\medskip
We shall consider a family of {\bf any complex valued functions} $\{U_n(x)\}_{n=0}^\infty$ defined on an abstract set $E$ that are linearly independent. Then, we consider the form:
\begin{equation}
K_N(x,y) =\sum_{n=0}^N U_n(x) \overline{U_n(y)}.
\end{equation}
Then, $K_N(x,y)$ is a {\bf reproducing kernel} in the following sense:
We shall consider the family of all the functions, for arbitrary complex numbers $\{C_n\}_{n=0}^N$
\begin{equation}
F(x) =\sum_{n=0}^N C_nU_n(x)
\end{equation}
and we introduce the norm
\begin{equation}
\Vert F \Vert^2=\sum_{n=0}^N |C_n|^2.
\end{equation}
The function space forms a Hilbert space $H_{K_N}(E)$ determined by the kernel $K_N(x,y)$ with the inner product induced from the norm (2.3), as usual. Then, we note that, for any $y \in E$
\begin{equation}
K_N(\cdot,y) \in H_{K_N}(E)
\end{equation}
and for any $ F \in H_{K_N}(E)$ and for any $y \in E$
\begin{equation}
F (y) =( F(\cdot), K_N(\cdot,y) )_{ H_{K_N}(E)} = \sum_{n=0}^N C_n U_n(y) .
\end{equation}
The properties (2.4) and (2.5) are called a {\bf reproducing property} of the kernel $K_N(x,y)$ for the Hilbert space $H_{K_N}(E)$, because the functions $F$ in the inner product (2.5) are appeared in the left hand　side. This formula may be considered that the functions $F$ may be represented by the kernel $K_N(x,y)$ and the Hilbert space $H_{K_N}(E)$ is represented by the kernel $K_N(x,y)$.
\bigskip
\section{ A general reproducing kernel}
\medskip
We wish to introduce a preHilbert space by
\[H_{K_\infty}:=
\bigcup_{N \geqq 0}H_{K_N}(E).\]
For any $ F\in H_{K_\infty}$, there exists a space $H_{K_M}(E)$ containing the function $F$ for some $M \geqq 0$. Then, for any
$N$ such that $ M< N$,
$$
H_{K_M}(E) \subset H_{K_N}(E)
$$
and, for the function $ F \in H_{K_M}$,
$$
\Vert F\Vert_{H_{K_M}(E) } = \Vert F\Vert_{H_{K_N}(E)}.
$$
Therefore, there exists the limit:
\[\|F\|_{H_{K_\infty}}:=
\lim_{N \to \infty}\|F\|_{H_{K_N}(E)}.\]
Denote by $H_\infty$ the completion of $H_{K_\infty}$ with respect to this norm.
Note that for any
$ M < N$, and for any $F_M \in H_{K_M}(E)$, $F_M \in H_{K_N}(E)$ and furthermore,
in particular, that
\[\langle f,g \rangle_{H_{K_M(E)}}=
\langle f,g \rangle_{H_{K_N(E)}}\]
for all $N>M $ and $f,g \in H_{K_M}(E)$.
\bigskip
{\bf Theorem} 　　Under the above conditions,
for any function $F \in H_\infty$ and for $F_N^*$
defined
by
\[
F_N^*(x)=\langle F,K_N(\cdot,x) \rangle_{ H_\infty},
\]
$F_N^* \in H_{K_N}(E)$ for all $N>0$,
and
as $N \to \infty$,
$F_N^* \to F$
in the topology of $H_\infty$.

\medskip

{\bf Proof.}
Just observe that
$$
|F_N^*(x)|^2 \le \Vert F\Vert_{H_\infty}^2 \Vert K_N(\cdot,x) \Vert_{H_\infty}^2
$$
$$
\le \Vert F \Vert_{H_\infty}^2 \Vert K_N(\cdot,x) \Vert_{H_{K_N}(E)}^2
$$
$$
= \Vert F \Vert_{H_\infty}^2 K_N(x,x).
$$
Therefore, we see that
$F_N^* \in H_{K_N}(E)$
and that
$\|F_N^*\|_{H_{K_N}(E)} \le \|F\|_{H_\infty}$.

The mapping
$F \mapsto F^*_N$
being uniformly bounded, and so,
we can assume that
$F \in H_{K_L}(E)$ for any fixed $L $.
However,
in this case,
the result is clear, since, $F \in H_{K_N}(E)$ for $ L< N$
$$
\lim_{N \to \infty}　F_N^*(x) = \lim_{N \to \infty} \langle F,K_N(\cdot,x) \rangle_{ H_\infty}= \lim_{N \to \infty}　\langle F,K_N(\cdot,x) \rangle_{H_{K_N}(E) } =F(x).
$$
\medskip
The Theorem may be looked as a reproducing kernel in the natural topology and by the sense of the Theorem, the reproducing property may be written as follows:
\[F(x)=\langle F,K_\infty(\cdot,x) \rangle_{ H_\infty},\]
with
\begin{equation}
K_\infty(\cdot,x) \equiv \lim_{N \to \infty}K_N(\cdot,x) = \sum_{n=0}^\infty U_n(\cdot) \overline{U_n(x)}.
\end{equation}
Here {\bf the limit does, in general, not need to exist}, however, the series are non-decreasing, in the sense: for any $N>M$, $K_N(y,x) - K_M(y,x)$ is a poisitive definite quadratic form function.
\bigskip
\section{Conclusion}
Any reproducing kernel (separable case) may be considered as the form (3.1) by arbitrary linear independent functions $\{U_n(x)\}$ on an abstract set $E$, here, the sum does not need to converge. Furthermore, the property of linear independent is not essential.
Recall the {\bf double helix structure of gene} for the form (3.1).
The completion $H_\infty$ may be found, in concrete cases, from the realization of the spaces
$H_{K_N}(E)$.
The typical case is that the family $\{U_n(x)\}_{n=0}^\infty$ is a complete orthonormal system in a Hilbert space with the norm
\begin{equation}
\Vert F　\Vert^2 = \int _E |F(x)|^2 dm(x)
\end{equation}
with a $dm$ measurable set $E$ in the usual form $L_2(E,dm)$. Then, the functions (2.2) and the norm (2.3) are realized by this norm and the completion of the space $H_{K_\infty}(E)$ is given by this Hilbert space with the norm (4.1).
The complete version of the contents, see \cite{ss} and the fundamental application to initial value problems using eigenfunctions and reproducing kernels, see \cite{ss2}.
\bigskip
\section{Remarks}
The common fundamental definitions and results on reproducing kernels are given as follows:
\medskip
{\bf Definition:}
Let $E$ be an arbitrary abstract (non-void) set.
Denote by ${\mathcal F}(E)$ \index{${\mathcal F}(E)$}
the set of all complex-valued functions on $E$.
A reproducing kernel Hilbert spaces \index{reproducing kernel Hilbert space}
on the set $E$
is a Hilbert space ${\mathcal H} \subset {\mathcal F}(E)$
coming with a function $K:E \times E \to {\mathcal H}$,
which is called the reproducing kernel, \index{reproducing kernel}
having {\bf the reproducing property} that \index{reproducing property}
\begin{equation}\label{eq:110213-14011}
K_p\equiv K(\cdot,p) \in {\mathcal H}\mbox{ for all }p \in E
\end{equation}
and that
\begin{equation}\label{eq:110213-140}
f(p)=\langle f,K_p \rangle_{\mathcal H}
\end{equation}
holds for all $p \in E$ and all $f \in {\mathcal H}$.
\medskip
{\bf Definition:}
A complex-valued function $k:E \times E \to {\mathbb C}$
is called a
{\bf positive definite quadratic form function}
\index{positive definite quadratic form function}
on the set $E$,
or shortly,
{\bf positive definite function},
\index{positive definite function}
when it satisfies the property that,
for an arbitrary function $X:E \to {\mathbb C}$ and for any finite
subset $F$ of $E$,
\begin{equation}\label{eq:101124-26100}
\sum_{p,q \in F} \overline{X(p)} X(q) k(p,q) \geq 0.
\end{equation}
\medskip
Then, the fundamental result is given by: {\bf a reproducing kernel and a positive definite quadratic form function are the same and are one to one correspondence} with the reproducing kernel Hilbert space.
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ss}
Saburou Saitoh and Yoshihiro Sawano,
Generalized delta functions as generalized reproducing kernels.
\bibitem{ss2}
Saburou Saitoh and Yoshihiro Sawano,
General initial value problems using eigenfunctions and reproducing kernels.
\bigskip
(S. Saitoh + Y. Sawano, at the Insititute of Reproducing Kernels, 2015.2.25)
\end{thebibliography}
\end{document}