ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ

2015年04月13日(月)NEW !

テーマ：数学

バースカラ（Bhāskara、カンナダ語: ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ、1114年 - 1185年）は、インドの数学者で天文学者。7世紀の数学者バースカラ1世と区別するためバースカラ2世 (Bhaskara II) またはバースカラチャリア（Bhaskara Achārya、バースカラ先生の意）とも呼ばれる。南インドの現在のカルナータカ州ビジャープラ県 (Bijapur district, Karnataka) にあたる Bijjada Bida でバラモン階級の家に生まれる。当時のインド数学の中心地であったウッジャイン (Ujjain) の天文台の天文台長を務めた。前任者には、ブラーマグプタ（598年 - 665年）やヴァラーハミヒラがいる。西ガーツ山脈地方に住んでいた。

代々、宮廷学者の地位を世襲しており、バースカラの息子やその子孫もその地位を継承していることが記録に残っている。父 Mahesvara は占星術師で、バースカラに数学を教え、バースカラはそれを息子 Loksamudra に継承させた。Loksamudra の息子は1207年に学校設立を助け、そこでバースカラの書いた文書の研究を行った[1]。

バースカラは、12世紀の数学および天文学の発展に大きな業績を残した。主な著書として、『リーラーヴァティ』 (Lilavati) （主に算術を扱っている）、『ビージャガニタ』 (Bijaganita) （代数学）、『シッダーンタ・シロマーニ』 (Siddhānta Shiromani) （1150年）がある。『シッダーンタ・シロマーニ』は Goladhyaya（球面）と Grahaganita（惑星の数学）の2部構成になっている。

目次 [非表示]

1 伝説

2 数学

2.1 算術

2.2 代数学

2.3 三角法

2.4 微分積分学

3 天文学

4 工学

5 脚注・出典

6 参考文献

7 外部リンク

伝説[編集]

バースカラ2世の算術の本は、彼の娘リーラーヴァティのために書かれたという伝説がある。ペルシア語版の『リーラーヴァティ』に書かれていた物語は、バースカラ2世がリーラーヴァティのホロスコープを研究して占ってみたところ、娘がある特定の時刻に結婚しないと彼女の夫が結婚後間もなく死ぬとでた、というものである。娘にその正しい時刻を警告するため、バースカラ2世は水の入った容器を置き、その上に底に小さな穴の開いたカップを浮かべ、ちょうどよい時刻にカップが沈むように設定した。そして、リーラーヴァティ にはそれに近づかないよう警告した。しかし娘は奇妙に思ってそれを覗き込み、鼻につけていた真珠がカップに落ち、沈み方が変わってしまった。そのため、結婚が間違った時間に執り行われ、彼女は間もなく未亡人となった。

バースカラ2世は、有限の数をゼロで割ると（ゼロ除算）無限大になるという近代的な数学と同じ考え方をしていた[2]。

数学[編集]

バースカラ2世の数学への貢献には、以下のようなものがある。

ピタゴラスの定理の証明。同じ領域の面積を2種類の方法で計算し、項を相殺させて消すことで a2 + b2 = c2 という式を導いた。

『リーラーヴァティ』において、二次方程式、三次方程式、四次方程式の解を示した。

線形および二次の方程式で整数解を求める方法（クッタカ法）。17世紀ルネサンス期のヨーロッパの数学者と同じ方法である。

ax2 + bx + c = y という形式の方程式を解くチャクラバーラ法 (Chakravala method) 。この方程式は1657年にウィリアム・ブラウンカーが解いたとされていたが、彼の方法はチャクラバーラ法よりも複雑だった。

ペル方程式と呼ばれる x2 － ny2 = 1 という形式の方程式の整数解を求める方法を示した。

61x2 + 1 = y2 のような二次のディオファントス方程式の解法。この方程式は1657年、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが問題として提示したが、ヨーロッパでこの解法を明らかにしたのはレオンハルト・オイラーで18世紀になってからのことである。

変数が複数ある二次方程式を解き、負数と無理数の解を発見した。

解析学の基本概念。

微分法の基本概念と積分法の元となる貢献。導関数と微分係数を発見。平均値の定理の特殊な場合であるロルの定理を発見。平均値の定理と思われる記述も著作の中に見つかっている。

三角関数の導関数を計算。

『シッダーンタ・シロマーニ』の中で、いくつかの三角法と共に球面三角法を展開している。

算術[編集]

バースカラ2世の算術についての著書『リーラーヴァティ』は、定義、算術用語、利子計算、算術級数と幾何級数、平面幾何学、立体幾何学、日時計の影、不変方程式の解法、組合せなどを扱っている。

『リーラーヴァティ』は13章からなり、算術だけでなく代数学や幾何学も扱い、一部は三角法や求積法を扱っている。具体的には、次のような内容がある。

定義

ゼロの性質（除法を含むゼロの演算規則）

その他の数に関すること。負数や無理数（冪根）を含む。

円周率の近似値。

算術。乗法や平方など。

逆三数法 (inverse rule of three)。3だけでなく、5, 7, 9, 11 に拡張。

利子計算に関する問題。

算術級数と幾何級数。

平面の幾何学。

立体の幾何学。

組合せ数学（順列と組合せ）。

線型および二次の不定方程式の整数解の求め方（クッタカ）。これについては、17世紀ルネサンス期のヨーロッパの数学者と同じ解法を示しており、非常に重要である。バースカラ2世の解法は、アリヤバータなど先人の成果に基づくものだった。

彼の著書は体系化、解法の改善、新たな問題の導入などの点が優れている。さらに『リーラーヴァティ』には素晴らしい例題もあり、バースカラ2世は『リーラーヴァティ』で学ぶ学生にその内容を具体的に役立てて欲しいと意図していたとも思われる。

代数学[編集]

『ビージャガニタ』（代数学）は12章からなる。正の数に（正と負の）2つの平方根があることを初めて示した文書である。次のような内容を含む。

正数と負数

ゼロ

未知数

未知の数量の決定

冪根と無理数

クッタカ法（不定方程式およびディオファントス方程式の解法）

単純な方程式（二次、三次、四次）

複数の変数のある単純な方程式

不定二次方程式（ax2 + b = y2 という形式のもの）

二次、三次、四次の不定方程式の解法

二次方程式

複数の変数のある二次方程式

複数の変数の積の操作

バースカラ2世は ax2 + bx + c = y という形式の不定二次方程式の解法としてチャクラバーラ法を導き出した。ペル方程式と呼ばれる Nx2 + 1 = y2 という形式の問題の整数解を求めるバースカラ2世の方法も重要である（こちらもチャクラバーラ法）。

三角法[編集]

『シッダーンタ・シロマーニ』（1150年）では、三角法を扱っており、正弦関数の数表や各種三角関数の関係も記している。また、いくつかの興味深い三角法に混じって球面三角法も発見している。バースカラ2世以前のインドの数学者は三角法を計算の道具としか見ていなかったが、バースカラ2世自身は三角法に大きな興味を持っていたように思われる。三角関数の加法定理といわれる \sin\left(a + b\right) や \sin\left(a - b\right) なども扱っている。

微分積分学[編集]

『シッダーンタ・シロマーニ』は天文学を中心に扱っているが、それ以前の著作にはない様々な理論が含まれている。特に、いくつかの三角法の成果に沿った微分法や解析学の基本概念、積分法の考え方などが見られる。

その著作から、バースカラ2世は微分法のいくつかの考え方を知っていたと見られている。しかし、それら成果の使い方を理解していなかったと見られ、そのために数学史家からは一般に無視されている。バースカラ2世は関数の極値で微分係数がゼロになることを示唆しており、無限小の概念を知っていたことを示している[3]。

ロルの定理の原型が著作に見られる。

f\left(a\right) = f\left(b\right) = 0 であるとき、\ a < x < b という範囲のある \ x で f'\left(x\right) = 0 となる。

x \approx y なら \sin(y) - \sin(x) \approx (y - x)\cos(y) となるという結果を得ている。正弦関数の導関数を見つけたことになるが、それを微分として一般化しようとしていない[4]。

バースカラ2世は黄道上の位置角を求めるのに使っている。これは、食が起きる時刻を正確に予測するのに必要だった。

惑星の瞬間的な運行を計算するにあたって、惑星の位置を1⁄33750秒以下の間隔で測定しており、このような無限小の時間単位で速度を測定していた。

彼は、変数が極大値となったとき微分係数が消える（ゼロになる）ことに気づいていた。

また、惑星が地球から最も遠い位置にあるとき、あるいは最も近い位置にあるとき、惑星が見かけ上一定速度で運行すると仮定して計算した位置と実際の位置の差がゼロになることを示した。そこで彼は、その差分を示す式と実際の運行の差がゼロになる点が中間に存在すると結論付けた。これは解析学の最重要な定理である平均値の定理の考え方と同じであり、今日ではロルの定理から導き出すのが一般的である。平均値の定理は15世紀、バースカラ2世の『リーラーヴァティ』の注釈本であるパラメーシュヴァラ (Parameshvara) の Lilavati Bhasya で発見されている。

マーダヴァ（1340年 - 1425年）と14世紀から16世紀にかけてのケーララ学派 の数学者ら（パラメーシュヴァラを含む）は、バースカラ2世の業績を発展させ、インドにおける微分積分学を発展させていった。

天文学[編集]

ブラーマグプタが7世紀に発展させた天文モデルを使い、バースカラ2世は恒星年（地球が太陽の周りを一周するのにかかる時間）の長さを（『スールヤ・シッダーンタ』 (Surya Siddhanta) と同じく）365.2588日とするなど[要出典]、様々な天文学上の量を定義した。現在の測定値は365.2563日で、その差異はたったの3.5分である。

彼の天文学の著書『シッダーンタ・シロマーニ』は2つの部分からなる。前半は数学的天文学であり、後半は球面を扱っている。

前半部の12章では、次のような内容を扱っている。

惑星の平均経度

惑星の真の経度

日周運動の3つの問題

惑星直列

月食

日食

惑星の緯度

出没方程式

月の満ち欠け

2つの惑星の合

惑星と恒星の合

後半は球面に関する13章からなる。次のような内容を扱っている。

球面の研究への賛辞

球面の性質

宇宙誌と地理学

惑星の平均運行速度

惑星の離心周転円モデル

天球儀

球面三角法

楕円の計算[要出典]

惑星の可視性

月の満ち欠けの計算

天文用器具

季節

天文計算の問題

工学[編集]

1150年、バースカラ2世は永久に回り続ける車輪について記述しており、永久機関の古い例の1つとなっている[5]。

バースカラ2世は Yasti-yantra と呼ばれる測定器具を使っていた。単純な棒状になったり、V字型に変形させたりでき、定規と組み合わせて角度を測るのに主に使ったという[6]。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%A92%E4%B8%96

再生核研究所声明２２２（2015.4.8）日本の代表的な数学として　ゼロ除算の研究の推進を求める

ゼロ除算の成果は　２０１５．３．２３　明治大学で開催された日本数学会で（プログラムは５２００部印刷、インターネットで公開）、海外約２００名に経過と成果の発表を予告して　正規に公開された。簡単な解説記事も約２００部学会で配布された。インターネットを用いて１年以上も広く国際的に議論していて、骨格の論文も出版後１年以上も経過していることもあり、成果と経過は一応の諒解が広く得られたと考えても良いと判断される。経過などについては　次の一連の声明を参照：

再生核研究所声明148（2014.2.12）　100/0=0, 0/0=0　－　割り算の考えを自然に拡張すると　―　神の意志

再生核研究所声明154（2014.4.22）　新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方

再生核研究所声明157（2014.5.8）　知りたい　神の意志、ゼロで割る、どうして　無限遠点と原点が一致しているのか？

再生核研究所声明161（2014.5.30）　ゼロ除算から学ぶ、数学の精神　と　真理の追究

再生核研究所声明163（2014.6.17）　ゼロで割る（零除算）－　堪らなく楽しい数学、探そう零除算　―　愛好サークルの提案

再生核研究所声明166（2014.6.20）　ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ　世界観

再生核研究所声明171（2014.7.30）　掛け算の意味と割り算の意味　―　ゼロ除算100/0=0は自明である？

再生核研究所声明176（2014.8.9）　ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する

Announcement 179 (2014.8.25): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics

Announcement 185　: The importance of the division by zero $z/0=0$

再生核研究所声明188（2014.12.1５）　ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界

再生核研究所声明190（2014.12.24）

再生核研究所からの贈り物　―　ゼロ除算100/0=0,　0/0=0

再生核研究所声明192（2014.12.27）　無限遠点から観る、人生、世界

夜明け、新世界、再生核研究所　年頭声明

―　再生核研究所声明193（2015.1.1）―　

再生核研究所声明194（2015.1.2）　大きなイプシロン（無限小）、創造性の不思議

再生核研究所声明195（2015.1.3）　ゼロ除算に於ける高橋の一意性定理について

再生核研究所声明196（2015.1.4）　ゼロ除算に於ける山根の解釈100= 0ｘ0について

再生核研究所声明200（2015.1.16）　ゼロ除算と複素解析の現状　―佐藤超関数論との関係が鍵か？

再生核研究所声明202（2015.2.2）　ゼロ除算100/0=0,0/0=0誕生1周年記念声明　―　ゼロ除算の現状と期待

再生核研究所声明215（2015.3.11）　ゼロ除算の教え

日本の数学が、欧米先進国のレベルに達していることは、国際研究環境の実情を見ても広く認められる。しかしながら、初等教育から大学学部レベルの基本的な数学において　日本の貢献は　残念ながら特に見当たらないと言わざるを得ない。これは日本の数学が　大衆レベルでは　世界に貢献していないことを意味する。これについて　関孝和の微積分や行列式の発見が想起されるが、世界の数学史に具体的な影響、貢献ができなかったこともあって　関孝和の天才的な業績は　残念ながら国際的に認知されているとは言えない。

そこで、基本的なゼロ除算、すなわち、四則演算において　ゼロで割れないとされてきたことが、何でもゼロで割れば　ゼロであるとの基本的な結果は、世界の数学界における　日本の数学の顕著なものとして　世界に定着させる　良い題材ではないだろうか。

内容の焦点としてはまず：

ゼロ除算の発見、

道脇方式によるゼロ除算の意味付け、除算の定義、

高橋のゼロ除算の一意性、

衝突における山根の現象の解釈、

の４点が挙げられる。

６歳の道脇愛羽さんが、ゼロ除算は　除算の固有の意味から自明であると述べられていることからも分かるように、ゼロ除算は、ピタゴラスの定理を超えた基本的な結果であると考えられる。

ゼロ除算の研究の発展は　日本の代表的な数学である　佐藤の超関数の理論と密接な関係にあり（再生核研究所声明200）、他方、欧米では　Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　との偏見に陥っている現状がある。　最後にゼロ除算の意義　に述べられているように　ゼロ除算の研究は　日本の数学として発展させる絶好の分野であると考えられる。　そこで、広く関係者に研究の推進と結果の重要性についての理解と協力を求めたい。

ゼロ除算の意義：

１）西暦６２８年インドでゼロが記録されて以来　ゼロで割るの問題　に　簡明で、決定的な解　1/0=0, 0/0=0をもたらしたこと。

２）　ゼロ除算の導入で、四則演算　加減乗除において　ゼロでは　割れない　の例外から、例外なく四則演算が可能である　という　美しい四則演算の構造が確立されたこと。

３）２千年以上前に　ユークリッドによって確立した、平面の概念に対して、おおよそ２００年前に非ユークリッド幾何学が出現し、特に楕円型非ユークリッド幾何学ではユークリッド平面に対して、無限遠点の概念がうまれ、特に立体射影で、原点上に球をおけば、　原点ゼロが　南極に、無限遠点が　北極に対応する点として　複素解析学では　１００年以上も定説とされてきた。それが、無限遠点は　数では、無限ではなくて、実はゼロが対応するという驚嘆すべき世界観をもたらした。

４）ゼロ除算は　ニュートンの万有引力の法則における、２点間の距離がゼロの場合における新しい解釈、　独楽（コマ）の中心における角速度の不連続性の解釈、衝突などの不連続性を説明する数学になっている。ゼロ除算は　アインシュタインの理論でも重要な問題になっていたとされている。数多く存在する物理法則を記述する方程式にゼロ除算が現れているが、それらに新解釈を与える道が拓かれた。

５）複素解析学では、１次変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次変換は　全複素平面を全複素平面に１対１　onto　に写すという美しい性質に変わるが、　極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を　数から排除する数学になっている。

６）ゼロ除算は、不可能であるという立場であったから、ゼロで割る事を　本質的に考えてこなかったので、ゼロ除算で、分母がゼロである場合も考えるという、未知の新世界、新数学、研究課題が出現した。

７）複素解析学への影響は　未知の分野で、専門家の分野になるが、解析関数の孤立特異点での性質について新しいことが導かれる。典型的な定理は、どんな解析関数の孤立特異点でも、解析関数は　孤立特異点で、有限な確定値をとる　である。佐藤の超関数の理論などへの応用がある。

８）特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられている。面白いのは　積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、　極限は　無限たす、有限量の形になっていて、積分は　実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、　ゼロ除算にいう、　解析関数の孤立特異点での　確定値に成っていること。いわゆる、主値に対する解釈を与えている。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。

９）中学生や高校生にも十分理解できる基本的な結果をもたらした：

基本的な関数y = 1/x　のグラフは、原点で　ゼロである；すなわち、　1/0=0　である。

１０）既に述べてきたように　道脇方式は　ゼロ除算の結果100/0=0,　0/0=0および分数の定義、割り算の定義に、小学生でも理解できる新しい概念を与えている。多くの教科書、学術書を変更させる大きな影響を与える。

１１）ゼロ除算が可能であるか否かの議論について：

現在　インターネット上の情報でも　世間でも、ゼロ除算は　不可能であるとの情報が多い。それは、割り算は　掛け算の逆であるという、前提に議論しているからである。それは、そのような立場では、勿論　正しいことである。出来ないという議論では、できないから、更には考えられず、その議論は、不可能のゆえに　終わりになってしまう　―　もはや　展開の道は閉ざされている。しかるに、ゼロ除算が　可能であるとの考え方は、それでは、どのような理論が　展開できるのかの未知の分野が望めて、大いに期待できる世界が拓かれる。

１２）ゼロ除算は、数学ばかりではなく、　人生観、世界観や文化に大きな影響を与える。

次を参照：

再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ　世界観

再生核研究所声明188（2014.12.16）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界

ゼロ除算における新現象、驚きとは　Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、強力な不連続性を　universe　の現象として受け入れることである。

以　上

まして、１０個のリンゴを０人で分けた際に、取り分　が∞個の小さな部分が取り分は、どう考えてもおかしい・・・・