A Notion of μηδέv in the Philosophy of Aristotle

A Notion of μηδέv in the Philosophy of Aristotle

Jolanta Swiderek
Maria Curie-Sk_odowska University
swidjol@ramzes.umcs.lublin.pl



ABSTRACT: This article shows that Aristotle created the first notion of a zero in the history of human thought. Since this notion stood in evident contradiction to the basic principles of his metaphysics and logic, he rejected it.



The origin and development of mathematical symbols was closely connected with the development of mathematics itself and development of philosophy. It resulted from the fact that philosophy provided the motivation for investigations and creation of adequate and good mathematical symbols. Moreover, being one of the cultural factors, (1) it played a significant role in the process of accepting or rejecting certain notions.

This article aims at producing evidence that particular ideas of Hellenic philosophy made it impossible for Hellenic thinkers to accept notion of a zero. The following considerations will be preceded by brief information on the ancient notations.

The ancient numeric systems aimed at ascribing to a singular whole number or written symbol (up to a point determined by practical needs). This symbol was a combination of a limited number of signs, produced on the basis of more or less regular laws. (2) Three ancient groups of people: the Babylonians, the Chinese and the Mayas discovered a position principle, that is one of the prerequisites leading to discovering a zero and considering it a number. (3) The first appeared in the Babylonian numeration in the 3rd century BC as a result of overcoming ambiguity in the notation of numbers. The sign for a zero that is the so-called diagonally drafted double nail ( ) indicated, first of all, a lack of units of some "sixty" order. It was also treated as kind of an arithmetic operator, since adding it at the end meant multiplication by "sixty". But neither the Babilonian mathematicians nor astronomers treated zero as a number. A diagonally drafted double nail was conceived of as an empty place, that is a lack of unites of a respective order.

Hellenes people used two systems of denoting numbers. The Athenian system was mathematically equal to the Roman system, whereas the Ionic system, just like the Hebrew system, was a system of an alphabetic type. In both systems, just like in the Egyptian hieroglyphic system or the Hebrew numeration, numbers had their established values regardless of the place they were put in. (4) None of the Hellenic system was based on a position principle, none of them used a symbol of zero, either. However, there appeared an empty space in the Hellenic way of calculating, just as in the case of the Babylonians. The Pythagoreans constructed an instrument for calculating, known as Pythagorean table or abacus. It was a kind of tables made with pebbles. Vertical lines of abacus were to separate respective decimal orders. A lack of pebbles in a given column meant a lack of units in a given order. The construction of an abacus could have given the Hellenic scientists an idea of the position notation of numbers and, as a consequence of it, resulted in adopting a symbol of zero. But it did not happen in this way. Hellenes, who were overcome with their affection towards solving antinomies could not accept the idea of introducing "something" to indicate "nothing". Already the very thought of this contained some sort of contradiction. The construction of an abacus allowed them to avoid introducing a symbol of an empty space and therefore it was a guarantee for them to avoid antinomy. This fact, I believe, remains closely connected to the principal theses of hellenic philosophy.

A fundamental thesis of Parmenides' philosophy declared, that being is and it cannot not be, non-being is not and it cannot be. A little later Aristotle wrote: "to say of what is that it is not, or what is not it is, is false...". (5) The greatest Hellenic philosophers, Socrates, Plato and Aristotle were convinced that one could reach an absolute truth only by means of general notions, whereas contemporary mathematicians, Teodor, Teaitet and Eudoksos, believed that they proved "truths" or "true theorems". This conviction was of a metaphysical character. Its justification or attributing to it a sense which would not make it a tautology, was not possible on the basis of mathematics. According to his metaphysics, Plato presented mathematics as a way leading to "truth in itself", whereas mathematical objects that is numbers, values, figures,...., as having their independent being in the world of ideas. (6) Therefore mathematics was an introduction to philosophy.

A question of mathematics was presented in a different way by Aristotle, Plato's pupil. According to fundamental statements of his metaphysics, he rejected ontic independence of mathematical objects, while stressing that a definition (naturally meaning nominal definitions since the Hellenic mathematicians did not explain "primary notions") did not entail the existence of a defined thing which required evidence or a postulate. The second degree of the Aristotelian abstraction, that is, mathematical abstraction, concerned the foundations of mathematics. It consists in the fact that in a material being we pay attention to one property only, which is very significant or just essential - quantity. All other properties, particular as well as general ones, are left out. In abstraction of this kind, intellect creates a mathematical being by isolating quantity from the nature of a given substance. Since in Aristotle's philosophy quantity is quality which organises the matter derivatively, arranging its parts outside each other, a notion of quantity includes the relation of these parts to each other and to the whole. A set of these relations is connected inseparably with a basic function of quantity, that is, with organising the matter. Thanks to a quantitative (along with relations) organisation, the matter becomes readable for the intellect. That is why a mathematical being, superstructured on the expression of quantity, isolated in mathematical abstraction, is an instrument of a deeper insight into structure of the matter.

The term of _ρι'μός (7) has two meanings in Aristotle's approach. The Philosopher defines _ρι'μός in a philosophical sense also with other terms: μovαδικός, (8) μα'ηματικός, (9) or _ρι'μητικός. (10) In the philosophical approach a number is a "plurality of units" (πλ_'oς μovάδωv), (11) a "synthesis of unites" (σύv'εσις μovάδωv), (12) a "discrete quantity" (πόσov διωρισμέvov). (13) Aristotle differentiated between an abstract number and a concrete number (τις _ρι'μός) included in particular groups of things: "Number, we must note, is used in two senses - both of what is counted or the countable and also of that with which we count" (_στιv _τερov _ _ρι'μo_μεv κα_ τ_ _ρι'μoύμεvov) (14) In Physics, book IV, Aristotle considered a possibility of adopting a zero number. "Now there is a ratio in which the void is exceeded by body, as there is no ratio of 0 to a number (τ_ μηδέv πρ_ς _ρι'μόv). For if 4 exceeds 3 by 1, and 2 by more than 1, and 1 by still more than it exceeds 2, still there is no ratio by which it exceeds 0; for that which exceeds must be divisible into the excess + that which is exceeded, so that 4 will be what it exceeds 4 + 0." (15) There is no doubt that the name of "zero" appearing in the above quotation from Physics means "a number zero" and is evidently connected with a notion of "nothing" or "nothingness". It is also indicated by the term of μηδέv used by Aristotle. This term does not belong to a dictionary of basic terms of Aristotle's system for obvious reasons. The Philosopher employed it when he analysed views of his predecessors while writing about beings coming to be from nothingness (16) and according to the ex nihilo nihil fit principle he rejected non-being conceived of as nothingness. Coming to be is a change "from non-subject to subject, the relation being that of contradiction (κατα _vτίφασιv) is "coming to be" - "unqualified coming to be" when the change takes place in an unqualified way, "particular coming to be" when the change is a change in a particular character: for instance, a change from not-white to white is coming to be of the particular thing, white, while change from unqualified non-being to being is coming to be in an unqualified way, in respect of which we say that a thing "comes to be" without qualification, not that it "comes to be" some particular thing". (17) Aristotle talked about absolute coming to be (γέvεσις _πλ_) and detailed coming to be (γέvεσίς τις). Coming to be in an absolute sense cannot be approached as coming to be from nothingness. A basic difference between γέvεσίς τις and γέvεσις _πλ_ consists in the fact that in the γέvεσίς τις process, the substance still exists in spite of change, it just acquires new qualities, while the γέvεσις _πλ_ process, there is no substance, there is only the matter as a component of a substance, unable to exist without a form. Bearing this in mind, one can say that a substance originated from the state in which it did not exist, that is from some kind of non-being, however not from nothingness. In Aristotle's system a notion of non-being (o_δέv, μ_ _v) is connected with a notion of being (τ_ _v) and is a negation of it. Hence, "being" has as many senses as "non-being". Analysing senses of "non-being" the Philosopher wrote: "For "non-being" also has many senses, since "being" has; and "not being a man" means not being a certain substance, "not being straight" not being of certain quality; "not being three cubits long" not being of certain quantity. [...] But since "non-being" taken in its various cases has as many senses as there are categories, and besides this the false is said not to be, and so is the potential, it is from this that generation proceeds, man from that which is not man but potentially man, and white from that which is not white but potentially white, and this whether it is some one thing that is generated or many". (18)

The first notion of an abstract zero, that is a number zero, in the history of human thought appeared in Aristotle's philosophy in the 4th c. BC, when the Babilonians elaborated a zero as a lack of units of some order. The Philosopher could not accepted it since it would lead him to contradiction. The basic principles of his metaphysics demanded the rejection of this notion just as they demanded the rejection of a notion of nothingness or actual infinity. The rejection of an abstract zero was demanded by the principles of his logic, demanding the rejection of an empty set.



Notes

(1) Another factors, in my opinion less significant, is a position occupied by a originator of symbols in the scientific world.

(2) The most frequent way of doing it was reducing whole numbers to sums of "successive units" b, b2,..., bn, bn+1,... where each number is a multiple of a preceeding one. Usually bn/bn+1 equals b that is a basis of the system. A befitting notation should show a number of bi "units" of each i order.

(3) A knowledge of position numeration made it easy to extend a basis to any number, for example 10.

(4) A notation of a number indicating multiplicity of k · bi "units", where k changes from 1 to (b(i+1)/bi ) - 1, included symbols that depended on k and i at the same time.

(5) Aristotle, Metaphysics, translated by W.D.Ross, 1011 b 26-27.

(6) Plato, The Republic, 510 c - e.

(7) The term of _ρι'μός is discussed by P.Pritchard in: Plato's Philosophy of Mathematics, Academia Verlag, Sankt Augustin, 1995, pp. 23 - 33.

(8) Aristotle, Nicomachean Ethics, 1131 a 30.

(9) Aristotle, Metaphysics, 1080 a 21.

(10) Aristotle, Metaphysics, 1083 b 16.

(11) Aristotle, Metaphysics, 1053 a 30, Physics, 207 b 7.

(12) Aristotle, Metaphysics, 1039 a 12.

(13) Aristotle, Categories, 4 b 22, 31.

(14) Aristotle, Physics, translated by R.P.Hardie and R.K.Gaye, 219 b 5 - 8.

(15) Aristotle, Physics, 215 b 12 - 17. Compare: Metaphysics, 1080 a.

(16) Aristotle, On Generation and Corruption, 316 a, 317 a; On Melissos, 974 a 1 - 8, 974 b 10 - 12, 975 a 21 - 23; On Gorgias, 979 a 35, 979 b 6, 31 - 37.

(17) Aristotle, Physics, 225 a 12 - 17. Compare 187 a.

(18) Aristotle, Metaphysics, 1089 a 16 - 32.
https://www.bu.edu/wcp/Papers/Anci/AnciSwid.htm

再生核研究所声明311（2016.07.05）　ゼロ0とは何だろうか
ここ２年半、ゼロで割ること、ゼロ除算を考えているが、ゼロそのものについてひとりでに湧いた想いがあるので、その想いを表現して置きたい。
数字のゼロとは、実数体あるいは複素数体におけるゼロであり、四則演算で、加法における単位元（基準元）で、和を考える場合、何にゼロを加えても変わらない元として定義される。積を考えて変わらない元が数字の１である：

Wikipedia:ウィキペディア：
初等代数学[編集]
数の 0 は最小の非負整数である。0 の後続の自然数は 1 であり、0 より前に自然数は存在しない。数 0 を自然数に含めることも含めないこともあるが、0 は整数であり、有理数であり、実数（あるいは代数的数、複素数）である。
数 0 は正でも負でもなく、素数でも合成数でも単数でもない。しかし、0は偶数である。
以下は数 0 を扱う上での初等的な決まりごとである。これらの決まりはxを任意の実数あるいは複素数として適用して構わないが、それ以外の場合については何も言及していないということについては理解されなければならない。
加法:x　+ 0 = 0 +x=x. つまり 0 は加法に関する単位元である。
減法:　x− 0 =x, 0 −x= −x.
乗法:x 0 = 0 ·x= 0.
除法:xが 0　でなければ0⁄x= 0 である。しかしx⁄0は、0 が乗法に関する逆元を持たないために、（従前の規則の帰結としては）定義されない（ゼロ除算を参照）。

実数の場合には、数直線で、複素数の場合には複素平面を考えて、すべての実数や複素数は直線や平面上の点で表現される。すなわち、座標系の導入である。
これらの座標系が無ければ、直線や平面はただ伸びたり、拡がったりする空間、位相的な点集合であると考えられるだろう。―　厳密に言えば、混沌、幻のようなものである。単に伸びたり、広がった空間にゼロ、原点を対応させるということは　位置の基準点を定めること　と考えられるだろう。基準点は直線や平面上の勝手な点にとれることに注意して置こう。原点だけでは、方向の概念がないから、方向の基準を勝手に決める必要がある。直線の場合には、直線は点で２つの部分に分けられるので、一方が正方向で、他が負方向である。平面の場合には、原点から出る勝手な半直線を基準、正方向として定めて、原点を回る方向を定めて、普通は時計の回りの反対方向を　正方向と定める。これで、直線や平面に方向の概念が導入されたが、さらに、距離（長さ）の単位を定めるため、原点から、正方向の点（これも勝手に指定できる）を１として定める。実数の場合にも複素数の場合にも数字の１をその点で表す。以上で、位置、方向、距離の概念が導入されたので、あとはそれらを基礎に数直線や複素平面（座標）を考える、すなわち、直線と実数、平面と複素数を１対１に対応させる。これで、実数も複素数も秩序づけられ、明瞭に表現されたと言える。ゼロとは何だろうか、それは基準の位置を定めることと発想できるだろう。
―　国家とは何だろうか。国家意思を定める権力機構を定め、国家を動かす基本的な秩序を定めることであると原理を述べることができるだろう。
数直線や複素平面では　基準点、０と１が存在する。これから数学を展開する原理を下記で述べている：

しかしながら、数学について、そもそも数学とは何だろうかと問い、ユニバースと数学の関係に思いを致すのは大事ではないだろうか。この本質論については幸運にも相当に力を入れて書いたものがある：

No.81, May 2012(pdf 432kb)
19/03/2012
ここでは、数学とは何かについて考えながら、数学と人間に絡む問題などについて、幅.広く面白く触れたい。

複素平面ではさらに大事な点として、純虚数i　が存在するが、ゼロ除算の発見で、最近、明確に認識された意外な点は、実数の場合にも、複素数の場合にも、ゼロに対応する点が存在するという発見である。ゼロに対応する点とは何だろうか？
直線や平面で実数や複素数で表されない点が存在するであろうか？　無理して探せば、いずれの場合にも、原点から無限に遠ざかった先が気になるのではないだろうか？　そうである立体射影した場合における無限遠点が正しくゼロに対応する点ではないかと発想するだろう。その美しい点は無限遠点としてその美しさと自然さ故に１００年を超えて数学界の定説として揺るぐことはなかった。ゼロに対応する点は無限遠点で、1/0=∞　と考えられてきた。オイラー、アーベル、リーマンの流れである。
ところが、ゼロ除算は1/0=0　で、実は無限遠点はゼロに対応していることが確認された。
直線を原点から、どこまでも　どこまでも遠ざかって行くと、どこまでも行くが、その先まで行くと（無限遠点）突然、ゼロに戻ることを示している。これが数学であり、我々の空間であると考えられる。この発見で、我々の数学の結構な部分が修正、補充されることが分かりつつある。
ゼロ除算は可能であり、我々の空間の認識を変える必要がある。ゼロで割る多くの公式である意味のある世界が広がってきた。それらが　幾何学、解析学、代数学などと調和して数学が一層美しい世界であることが分かってきた。

全ての直線はある意味で、原点、基準点を通ることが示されるが、これは無限遠点の影が投影されていると解釈され、原点はこの意味で２重性を有している、無限遠点と原点が重なっている現象を表している。この２重性は 基本的な指数関数y=e^x　が原点で、0 と1　の２つの値をとると表現される。このことは、今後大きな意味を持ってくるだろう。

古来、ゼロと無限の関係は何か通じていると感じられてきたが、その意味が、明らかになってきていると言える。

２点から無限に遠い点　無限遠点は異なり、無限遠点は基準点原点の指定で定まるとの認識は面白く、大事ではないだろうか。
以　上

再生核研究所声明287(2016.02.12)　神秘的なゼロ除算の歴史―数学界で見捨てられていたゼロ除算
(最近　相当　ゼロ除算について幅広く歴史、状況について調べている。)
ゼロ除算とは　ゼロで割ることを考えることである。ゼロがインドで６２８年に記録され、現代数学の四則演算ができていたが、そのとき、既にゼロで割ることか考えられていた。しかしながら、その後１３００年を超えてずっと我々の研究成果以外解決には至っていないと言える。実に面白いのは、６２８年の時に、ゼロ除算は正解と判断される結果1/0=0が期待されていたということである。さらに、詳しく歴史を調べているC.B. Boyer氏の視点では、ゼロ除算を最初に考えたのはアリストテレスであると判断され、アリストテレスは　ゼロ除算は不可能であると判断していたという。―　真空で比を考えること、ゼロで割ることはできない。アリストテレスの世界観は　２０００年を超えて現代にも及び、我々の得たゼロ除算はアリストテレスの　世界は連続である　に反しているので受け入れられないと　複数の数学者が言明されたり、情感でゼロ除算は受け入れられないという人は結構多い。
数学界では，オイラーが積極的に1/0 は無限であるという論文を書き、その誤りを論じた論文がある。アーベルも記号として、それを無限と表し、リーマンもその流れで無限遠点の概念を持ち、リーマン球面を考えている。これらの思想は現代でも踏襲され、超古典アルフォースの複素解析の本にもしっかりと受け継がれている。現代数学の世界の常識である。これらが畏れ多い天才たちの足跡である。こうなると、ゼロ除算は数学的に確定し、何びとと雖も疑うことのない、数学的真実であると考えるのは至極当然である。―　ゼロ除算はそのような重い歴史で、数学界では見捨てられていた問題であると言える。
しかしながら、現在に至るも　ゼロ除算は広い世界で話題になっている。　まず、顕著な研究者たちの議論を紹介したい：

論理、計算機科学、代数的な体の構造の問題（J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker）、
特殊相対性の理論とゼロ除算の関係（J. P. Barukcic and I. Barukcic）、
計算器がゼロ除算に会うと実害が起きることから、ゼロ除算回避の視点から、ゼロ除算の研究（T. S. Reis and James A.D.W. Anderson）。
またフランスでも、奇怪な抽象的な世界を建設している人たちがいるが、個人レベルでもいろいろ奇怪な議論をしている人があとを立たない。また、数学界の難問リーマン予想に関係しているという。

直接議論を行っているところであるが、ゼロ除算で大きな広い話題は　特殊相対性理論、一般相対性理論の関係である。実際、物理とゼロ除算の関係はアリストテレス以来、ニュートン、アインシュタインの中心的な課題で、それはアインシュタインの次の意味深長な言葉で表現される：

Albert Einstein:
Blackholes are where God divided by zero.
I don’t believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.

数学では不可能である、あるいは無限遠点と確定していた数学、それでも話題が尽きなかったゼロ除算、それが予想外の偶然性から、思いがけない結果、ゼロ除算は一般化された除算，分数の意味で、何時でも唯一つに定まり、解は何時でもゼロであるという、美しい結果が発見された。いろいろ具体的な例を上げて、我々の世界に直接関係する数学で、結果は確定的であるとして、世界の公認を要請している：
再生核研究所声明280(2016.01.29) ゼロ除算の公認、認知を求める
Announcement 282: The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday

詳しい解説も次で行っている：
○ 堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える(18)
数学基礎学力研究会のホームページ
URLは　http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku

以　上


何故ゼロ除算が不可能であったか理由

１　割り算を掛け算の逆と考えた事
２　極限で考えようとした事
３　教科書やあらゆる文献が、不可能であると書いてあるので、みんなそう思った。

Matrices and Division by Zero z/0 = 0
http://file.scirp.org/pdf/ALAMT_2016061413593686.pdf