ジョン・ウォリス
John Wallis
人物情報
生誕 1616年11月23日
イングランドの旗 イングランド、ケント州、アシュフォード
死没 1703年10月28日（満86歳）
イングランドの旗 イングランド、オックスフォードシャー州、オックスフォード
居住 イングランドの旗 イングランド
国籍 イングランドの旗 イングランド
出身校 ケンブリッジ大学エマニュエル・カレッジ
学問
研究分野 数学
研究機関 ケンブリッジ大学クイーンズ・カレッジ
オックスフォード大学
博士課程
指導教員 ウィリアム・オートレッド
博士課程
指導学生 ウィリアム・ブラウンカー
主な業績 ウォリス積
無限大を表す記号 ∞
プロジェクト:人物伝
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ジョン・ウォリス（John Wallis、1616年11月23日 - 1703年10月28日）は、イングランドの数学者で、微分積分学への貢献で知られている。1643年から1689年までイングランド議会（後には王宮）に暗号研究者として雇われた。また、無限を表す記号として ∞ を採用したことでも知られている。小惑星 31982 Johnwallis は彼の名を冠している。
目次 [非表示]
1 生涯
2 数学
2.1 解析幾何学
2.2 積分法
2.3 物体の衝突
2.4 代数学
2.5 幾何学
2.6 暗算能力
2.7 ホッブズとの論争
3 その他の業績
4 小説
5 脚注・出典
6 参考文献
7 関連項目
8 外部リンク
生涯[編集]
ケント州アシュフォードで、5人兄弟の3番目として生まれた。アシュフォードの学校に通っていたが、ペストが流行したことから1625年にテンターデンの学校に転校した。1631年、フェルステッドの学校で数学と出会った。ウォリスは数学が気に入ったが、当時の数学は学問としては不十分であり、機械的な計算に重きを置いていた[1]。
医者になることを周囲に望まれ、1632年にケンブリッジ大学エマニュエル・カレッジに入学[2]。そこで当時議論の的でもあった血の循環の学説を学んだ。しかし、彼の興味の中心は数学にあった。1637年に学士号、1640年に修士号を取得し、その後聖職に就いた。1643年から1649年、ウェストミンスター会議で議決権のない筆記者を務めた。1644年、ケンブリッジ大学クイーンズ・カレッジのフェローに選ばれたが、1645年3月14日に結婚した後、辞任しなければならなくなった。
このころ、フェルステッドの学校との関わりから議会派と親交があった。ウォリスは議会派が王党派の暗号文書を解読するにあたって、多大な技術的支援をしている。当時の暗号の出来は玉石混交だった。フランソワ・ビエトのように暗号研究で成功を収めた数学者はいたが、暗号設計や暗号解読法の理論的基盤はまだ確立していなかった。現代のように鍵を基盤とした体系的なものとは異なり、多くの暗号は場当たり的に作られ、秘密のアルゴリズムを採用していた。ウォリスは鍵を使った暗号がより安全だと気づき、それらを「解読不能」と評したが、そのようなアルゴリズムを奨励するほどの自信はなかった。また、海外勢力の暗号の使用に懸念を持ち、例えば1697年にゴットフリート・ライプニッツにハノーファーからの留学生に暗号理論を教えるよう要請され、それを断っている。
1643年 St Gabriel Fenchurch でチャプレンとなっていたが、ロンドンに戻ると後に王立協会設立の母体となる科学者のグループに参加した。1647年、数週間かけてウィリアム・オートレッドの Clavis Mathematicae をマスターし、ついに数学への関心を満足させた。すぐに独自の論文を書き始めた。それは様々な主題を扱い、生涯書き続けることになった。1663年、王立協会フェローに選出された[3]。
ウォリスはチャールズ1世の処刑に反対する穏健な長老派に与し、独立派に長く恨まれることになった。独立派の反対にも関わらず、ウォリスは1649年にオックスフォード大学の Savilian Chair of Geometry（数学の教授職）に選任され、1703年10月28日に亡くなるまでその職にあった。数学以外にも、神学、論理学、英文法、哲学についての著作もあり、聾唖者への教育方法の確立にも関与した。なお聾唖者の教育については、ウィリアム・ホルダーが聾唖者に明朗な話し方を教えるという功績を上げており[4]、ホルダーはウォリスが他人の功績を横取りしたとして非難している[5]。
数学[編集]
Opera mathematica, 1699
ウォリスは、三角法、微分積分学、幾何学、級数の解析などで多大な貢献をしている。著作の Opera Mathematica I (1695) では "continued fraction"（連分数）という用語を生み出している。
今では当たり前となっている負数が 0 より小さいという考え方をウォリスは不合理だとして拒絶し、スイス人数学者レオンハルト・オイラーと同様に負数は無限大より大きいという見方を支持した。負数が無限大より大きいという考え方は、x を正の大きな数から 0 に近づけていくと
1
x
の値が無限大になることを根拠としている。それにもかかわらず、負数を左、正数を右に描く数直線の考え方はウォリスが考案したとされている。
解析幾何学[編集]
1655年、ウォリスは円錐曲線について解析的に定義した論文を発表している。これは円錐曲線を二次曲線として定義した最初の論文である。これは、ルネ・デカルトの解析幾何学についての業績の難しさと不明瞭さを解明する助けとなった。
積分法[編集]
ウォリスの最も重要な著作 Arithmetica Infinitorum は1656年に出版された。この論文はデカルトとカヴァリエーリの解析的手法を体系化して拡張したものである。円錐曲線についての節の後、べき乗の標準的記法を自然数から有理数に次のように拡張している。
x^0 =1,\ x^{-1} =\frac{1}{x} ,\ x^{-2} =\frac{1}{x^2} ,\text{ etc.}
x^{1/2} =\text{ square root of }x,\ x^{2/3} =\text{ cube root of }x^2, \text{ etc.}
x^{1/n} =n\text{th root of }x.
x^{p/q} =q\text{th root of }x^p.
この記法の様々な代数的応用を示した後、積分法に主題を移し、y = xm という曲線と x 軸と x = h という垂線に囲まれた部分の面積が、底辺と高さが同じ平行四辺形の面積に対してこの領域の面積が常に
1
m + 1
という比率であることを証明している。彼は明らかに、y = axm という曲線についても同じことが成り立つと見なしていた（a は任意の定数、m は任意の正または負の数）。しかし、彼が論じたのは m = 2 の場合と m = －1 の場合だけで、後者についての彼の解釈は間違っている。そしてウォリスは次の形式の任意の曲線に同様の結果が得られる可能性があるとした。
y=\sum_m ax^m.
したがって、曲線のy座標が x の様々なべき乗に展開できれば、それも同様に扱えると考えた。つまり例えば、ある曲線の式が y = x0 + x1 + x2 + … と表される場合、その面積は x + x2/2 + x3/3 + … になるとした。次に y = (x － x2)0, y = (x － x2)1, y = (x － x2)2 といった曲線の数値積分にこれを適用し、x = 0 から x = 1 までの部分を計算し、それぞれ 1,
1
6
,
1
30
,
1
140
などと求めている。次に y = x1/m という曲線を検討し、この曲線と x = 0 と x = 1 で囲まれた部分の面積が同じ底辺と高さの三角形の面積と m : m + 1 の比率だという定理を導いた。これは次の計算と等価である。
\int_0^1 x^{1/m} \, dx.
彼は m = 2 の場合について放物線を使って詳述している。続いて y = xp/q という形の曲線を論じているが、証明はしていない。
ウォリスは上述の曲線の方程式を一般化するに当たって、かなりの巧妙さを見せている。しかし彼は二項定理を知らず、y=\sqrt{1-x^2} という式を x のべき乗の多項式に展開できなかったため、円の求積ができなかった。そこで彼は内挿の原理を使った。円の式 y=\sqrt{1-x^2} と座標軸で囲まれる部分の面積は、y=(1-x^2)^0 と y=(1-x^2)^1 という曲線の幾何平均であるため、部分円の面積 \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=\pi/4 は、次の2つの値の幾何平均で近似できると考えた。
\int_0^1 (1-x^2 )^0 \, dx\text{ and } \int_0^1 (1-x^2 )^1 \, dx.
これらの値はそれぞれ 1 と
2
3
であり、その幾何平均は π を 4\sqrt{\tfrac{2}{3}} =3.26\cdots とした場合と等価である。しかし、ウォリスは 1,
1
6
,
1
30
,
1
140
, … という級数が実際に得られているのだから、1 と
1
6
の間で内挿される項はこの級数の法則に従うはずだと考えた。この精巧な手法をここで詳述することはできないが、内挿した項の値は次のような式と等価となる。
\frac{\pi}{2} =\frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdot\frac65\cdot\frac67\cdots.
これがウォリス積として知られている。
この著作では連分数についても論じている。
数年後の1659年、ウォリスはブレーズ・パスカルの提案したサイクロイドについての問題の解を含む論文を発表している。その中で Arithmetica Infinitorum で展開した理論を代数曲線の求長法に使う方法を説明している。そこで x3 = ay2 という曲線の長さを求めてみせている。この解法は1657年に弟子のウィリアム・ニールが発見した。それまで楕円や双曲線の長さを求める試みは全て失敗していたため、曲線の長さは求めることができないとされ、特にデカルトはそのように主張していた。円以外の曲線では対数螺旋の長さをエヴァンジェリスタ・トリチェリが既に求めていたが、ニールとウォリスが代数曲線にまでそれを拡張したのは画期的だった。サイクロイドの長さは1658年にクリストファー・レンが求めている。
物体の衝突[編集]
1668年、王立協会は数学者らに物体の衝突についての理論を求めた。ウォリス、クリストファー・レン、クリスティアーン・ホイヘンスが似たような正しい解答を提出している。いずれも今では運動量と呼ばれるものに基づいているが、レンとホイヘンスが完全な弾性体を対象として論を構築したのに対し、ウォリスは不完全な弾性体も考慮していた。その後1669年には静力学、1670年には動力学について同様のことが行われ、当時、それぞれの分野のレベルがどうだったのかがよく分かる。
代数学[編集]
1685年、ウォリスは Algebra を出版した。この著書には代数学の発展の歴史も記されており、貴重な情報が含まれている。1693年の第2版は大幅に増補されている。この著作は数式の体系化を行っている点が注目に値する。
幾何学[編集]
ウォリスはピタゴラスの定理を相似な三角形を使って証明したとされている。しかし、アラビアの数学者サービト・イブン＝クッラ（901年没）が6世紀前にピタゴラスの定理のあらゆる三角形への一般化を行っていた。ウォリスがサービトの業績を知っていた可能性は高い[6]。ウォリスはナスィールッディーン・トゥースィーの息子 Sadr al-Tusi の業績、特に平行線公準も知っていた。ウォリスは平行線公準についても後に考察を残している[7]。
暗算能力[編集]
ウォリスは暗算能力に優れていた。寝つきが悪いため、ベッドに横たわりながら暗算をすることが多かった。ある晩、ある数の平方根を53桁まで暗算したことがある。翌朝、脳裏に焼きついていたその平方根の27桁までをスラスラと書いたという。この特異な能力は当時重大視され、王立協会の事務総長ヘンリー・オルデンバーグは人を派遣してウォリスがどうやって暗算しているのか調査させた。そして、1685年のフィロソフィカル・トランザクションズ誌にこれについての考察を掲載している。
ホッブズとの論争[編集]
1650年代中頃、ウォリスとトマス・ホッブズとの間に論争が起き、それが長く続くことになった。ホッブズの著作『物体論』（1655年）に数学的誤りがあることを数学者らが指摘したことが発端となった。ホッブズは円積問題を解いたと主張し、1670年代まで両陣営が主張し合う形で論争が続いた。
その他の業績[編集]
1687年の著書 Institutio logicae は広く読まれた。また、Grammatica linguae Anglicanae は英文法についての著作で、18世紀にも出版されている。神学関係の著書もある[8]。
小説[編集]
ウォリスは、イアン・ペアズの歴史推理小説 An Instance of the Fingerpost にあまり好ましくない人物として登場している。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AA%E3%82%B9
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 300: New challenges on the division by zero z/0=0\\
(2016.05.22)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
%\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):
\bigskip
{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.
\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.
However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:
\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization or by the Moore-Penrose generalized inverse,
\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki,
\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,
\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$,
\medskip
and
\medskip
5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip
Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:
\medskip
\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,
\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip
C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero,
\medskip
and
\medskip
D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.
\medskip
In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.
\medskip
See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.
Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.
Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$.
Meanwhile, we should refer to up-to-date information:
{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough
Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}
\medskip
Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252,ann293}).
\section{On mathematics}
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impacts on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems. See our announcements for the details.
The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.
We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impacts to our basic ideas on the universe.
\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.
\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the zero division trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.
\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world.
\bigskip
We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{bb}
J. P. Barukcic and I. Barukcic, Anti Aristotle—The Division of Zero by Zero. Journal of Applied Mathematics and Physics, {\bf 4}(2016), 749-761.
doi: 10.4236/jamp.2016.44085.
\bibitem{bht}
J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker,
Meadows and the equational specification of division (arXiv:0901.0823v1[math.RA] 7 Jan 2009).
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{ms}
T. Matsuura and S. Saitoh,
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H. Michiwaki, S. Saitoh, and M.Yamada,
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. {\bf 6}(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
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\bibitem{ann179}
Announcement 179 (2014.8.30): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics.
\bibitem{ann185}
Announcement 185 (2014.10.22): The importance of the division by zero $z/0=0$.
\bibitem{ann237}
Announcement 237 (2015.6.18): A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics.
\bibitem{ann246}
Announcement 246 (2015.9.17): An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines.
\bibitem{ann247}
Announcement 247 (2015.9.22): The gradient of y-axis is zero and $\tan (\pi/2) =0$ by the division by zero $1/0=0$.
\bibitem{ann250}
Announcement 250 (2015.10.20): What are numbers? - the Yamada field containing the division by zero $z/0=0$.
\bibitem{ann252}
Announcement 252 (2015.11.1): Circles and
curvature - an interpretation by Mr.
Hiroshi Michiwaki of the division by
zero $r/0 = 0$.
\bibitem{ann281}
Announcement 281(2016.2.1): The importance of the division by zero $z/0=0$.
\bibitem{ann282}
Announcement 282(2016.2.2): The Division by Zero $z/0=0$ on the Second Birthday.
\bibitem{ann293}
Announcement 293(2016.3.27): Parallel lines on the Euclidean plane from the viewpoint of division by zero 1/0=0.
\end{thebibliography}
\end{document}
John Wallis
人物情報
生誕 1616年11月23日
イングランドの旗 イングランド、ケント州、アシュフォード
死没 1703年10月28日（満86歳）
イングランドの旗 イングランド、オックスフォードシャー州、オックスフォード
居住 イングランドの旗 イングランド
国籍 イングランドの旗 イングランド
出身校 ケンブリッジ大学エマニュエル・カレッジ
学問
研究分野 数学
研究機関 ケンブリッジ大学クイーンズ・カレッジ
オックスフォード大学
博士課程
指導教員 ウィリアム・オートレッド
博士課程
指導学生 ウィリアム・ブラウンカー
主な業績 ウォリス積
無限大を表す記号 ∞
プロジェクト:人物伝
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ジョン・ウォリス（John Wallis、1616年11月23日 - 1703年10月28日）は、イングランドの数学者で、微分積分学への貢献で知られている。1643年から1689年までイングランド議会（後には王宮）に暗号研究者として雇われた。また、無限を表す記号として ∞ を採用したことでも知られている。小惑星 31982 Johnwallis は彼の名を冠している。
目次 [非表示]
1 生涯
2 数学
2.1 解析幾何学
2.2 積分法
2.3 物体の衝突
2.4 代数学
2.5 幾何学
2.6 暗算能力
2.7 ホッブズとの論争
3 その他の業績
4 小説
5 脚注・出典
6 参考文献
7 関連項目
8 外部リンク
生涯[編集]
ケント州アシュフォードで、5人兄弟の3番目として生まれた。アシュフォードの学校に通っていたが、ペストが流行したことから1625年にテンターデンの学校に転校した。1631年、フェルステッドの学校で数学と出会った。ウォリスは数学が気に入ったが、当時の数学は学問としては不十分であり、機械的な計算に重きを置いていた[1]。
医者になることを周囲に望まれ、1632年にケンブリッジ大学エマニュエル・カレッジに入学[2]。そこで当時議論の的でもあった血の循環の学説を学んだ。しかし、彼の興味の中心は数学にあった。1637年に学士号、1640年に修士号を取得し、その後聖職に就いた。1643年から1649年、ウェストミンスター会議で議決権のない筆記者を務めた。1644年、ケンブリッジ大学クイーンズ・カレッジのフェローに選ばれたが、1645年3月14日に結婚した後、辞任しなければならなくなった。
このころ、フェルステッドの学校との関わりから議会派と親交があった。ウォリスは議会派が王党派の暗号文書を解読するにあたって、多大な技術的支援をしている。当時の暗号の出来は玉石混交だった。フランソワ・ビエトのように暗号研究で成功を収めた数学者はいたが、暗号設計や暗号解読法の理論的基盤はまだ確立していなかった。現代のように鍵を基盤とした体系的なものとは異なり、多くの暗号は場当たり的に作られ、秘密のアルゴリズムを採用していた。ウォリスは鍵を使った暗号がより安全だと気づき、それらを「解読不能」と評したが、そのようなアルゴリズムを奨励するほどの自信はなかった。また、海外勢力の暗号の使用に懸念を持ち、例えば1697年にゴットフリート・ライプニッツにハノーファーからの留学生に暗号理論を教えるよう要請され、それを断っている。
1643年 St Gabriel Fenchurch でチャプレンとなっていたが、ロンドンに戻ると後に王立協会設立の母体となる科学者のグループに参加した。1647年、数週間かけてウィリアム・オートレッドの Clavis Mathematicae をマスターし、ついに数学への関心を満足させた。すぐに独自の論文を書き始めた。それは様々な主題を扱い、生涯書き続けることになった。1663年、王立協会フェローに選出された[3]。
ウォリスはチャールズ1世の処刑に反対する穏健な長老派に与し、独立派に長く恨まれることになった。独立派の反対にも関わらず、ウォリスは1649年にオックスフォード大学の Savilian Chair of Geometry（数学の教授職）に選任され、1703年10月28日に亡くなるまでその職にあった。数学以外にも、神学、論理学、英文法、哲学についての著作もあり、聾唖者への教育方法の確立にも関与した。なお聾唖者の教育については、ウィリアム・ホルダーが聾唖者に明朗な話し方を教えるという功績を上げており[4]、ホルダーはウォリスが他人の功績を横取りしたとして非難している[5]。
数学[編集]
Opera mathematica, 1699
ウォリスは、三角法、微分積分学、幾何学、級数の解析などで多大な貢献をしている。著作の Opera Mathematica I (1695) では "continued fraction"（連分数）という用語を生み出している。
今では当たり前となっている負数が 0 より小さいという考え方をウォリスは不合理だとして拒絶し、スイス人数学者レオンハルト・オイラーと同様に負数は無限大より大きいという見方を支持した。負数が無限大より大きいという考え方は、x を正の大きな数から 0 に近づけていくと
1
x
の値が無限大になることを根拠としている。それにもかかわらず、負数を左、正数を右に描く数直線の考え方はウォリスが考案したとされている。
解析幾何学[編集]
1655年、ウォリスは円錐曲線について解析的に定義した論文を発表している。これは円錐曲線を二次曲線として定義した最初の論文である。これは、ルネ・デカルトの解析幾何学についての業績の難しさと不明瞭さを解明する助けとなった。
積分法[編集]
ウォリスの最も重要な著作 Arithmetica Infinitorum は1656年に出版された。この論文はデカルトとカヴァリエーリの解析的手法を体系化して拡張したものである。円錐曲線についての節の後、べき乗の標準的記法を自然数から有理数に次のように拡張している。
x^0 =1,\ x^{-1} =\frac{1}{x} ,\ x^{-2} =\frac{1}{x^2} ,\text{ etc.}
x^{1/2} =\text{ square root of }x,\ x^{2/3} =\text{ cube root of }x^2, \text{ etc.}
x^{1/n} =n\text{th root of }x.
x^{p/q} =q\text{th root of }x^p.
この記法の様々な代数的応用を示した後、積分法に主題を移し、y = xm という曲線と x 軸と x = h という垂線に囲まれた部分の面積が、底辺と高さが同じ平行四辺形の面積に対してこの領域の面積が常に
1
m + 1
という比率であることを証明している。彼は明らかに、y = axm という曲線についても同じことが成り立つと見なしていた（a は任意の定数、m は任意の正または負の数）。しかし、彼が論じたのは m = 2 の場合と m = －1 の場合だけで、後者についての彼の解釈は間違っている。そしてウォリスは次の形式の任意の曲線に同様の結果が得られる可能性があるとした。
y=\sum_m ax^m.
したがって、曲線のy座標が x の様々なべき乗に展開できれば、それも同様に扱えると考えた。つまり例えば、ある曲線の式が y = x0 + x1 + x2 + … と表される場合、その面積は x + x2/2 + x3/3 + … になるとした。次に y = (x － x2)0, y = (x － x2)1, y = (x － x2)2 といった曲線の数値積分にこれを適用し、x = 0 から x = 1 までの部分を計算し、それぞれ 1,
1
6
,
1
30
,
1
140
などと求めている。次に y = x1/m という曲線を検討し、この曲線と x = 0 と x = 1 で囲まれた部分の面積が同じ底辺と高さの三角形の面積と m : m + 1 の比率だという定理を導いた。これは次の計算と等価である。
\int_0^1 x^{1/m} \, dx.
彼は m = 2 の場合について放物線を使って詳述している。続いて y = xp/q という形の曲線を論じているが、証明はしていない。
ウォリスは上述の曲線の方程式を一般化するに当たって、かなりの巧妙さを見せている。しかし彼は二項定理を知らず、y=\sqrt{1-x^2} という式を x のべき乗の多項式に展開できなかったため、円の求積ができなかった。そこで彼は内挿の原理を使った。円の式 y=\sqrt{1-x^2} と座標軸で囲まれる部分の面積は、y=(1-x^2)^0 と y=(1-x^2)^1 という曲線の幾何平均であるため、部分円の面積 \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=\pi/4 は、次の2つの値の幾何平均で近似できると考えた。
\int_0^1 (1-x^2 )^0 \, dx\text{ and } \int_0^1 (1-x^2 )^1 \, dx.
これらの値はそれぞれ 1 と
2
3
であり、その幾何平均は π を 4\sqrt{\tfrac{2}{3}} =3.26\cdots とした場合と等価である。しかし、ウォリスは 1,
1
6
,
1
30
,
1
140
, … という級数が実際に得られているのだから、1 と
1
6
の間で内挿される項はこの級数の法則に従うはずだと考えた。この精巧な手法をここで詳述することはできないが、内挿した項の値は次のような式と等価となる。
\frac{\pi}{2} =\frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdot\frac65\cdot\frac67\cdots.
これがウォリス積として知られている。
この著作では連分数についても論じている。
数年後の1659年、ウォリスはブレーズ・パスカルの提案したサイクロイドについての問題の解を含む論文を発表している。その中で Arithmetica Infinitorum で展開した理論を代数曲線の求長法に使う方法を説明している。そこで x3 = ay2 という曲線の長さを求めてみせている。この解法は1657年に弟子のウィリアム・ニールが発見した。それまで楕円や双曲線の長さを求める試みは全て失敗していたため、曲線の長さは求めることができないとされ、特にデカルトはそのように主張していた。円以外の曲線では対数螺旋の長さをエヴァンジェリスタ・トリチェリが既に求めていたが、ニールとウォリスが代数曲線にまでそれを拡張したのは画期的だった。サイクロイドの長さは1658年にクリストファー・レンが求めている。
物体の衝突[編集]
1668年、王立協会は数学者らに物体の衝突についての理論を求めた。ウォリス、クリストファー・レン、クリスティアーン・ホイヘンスが似たような正しい解答を提出している。いずれも今では運動量と呼ばれるものに基づいているが、レンとホイヘンスが完全な弾性体を対象として論を構築したのに対し、ウォリスは不完全な弾性体も考慮していた。その後1669年には静力学、1670年には動力学について同様のことが行われ、当時、それぞれの分野のレベルがどうだったのかがよく分かる。
代数学[編集]
1685年、ウォリスは Algebra を出版した。この著書には代数学の発展の歴史も記されており、貴重な情報が含まれている。1693年の第2版は大幅に増補されている。この著作は数式の体系化を行っている点が注目に値する。
幾何学[編集]
ウォリスはピタゴラスの定理を相似な三角形を使って証明したとされている。しかし、アラビアの数学者サービト・イブン＝クッラ（901年没）が6世紀前にピタゴラスの定理のあらゆる三角形への一般化を行っていた。ウォリスがサービトの業績を知っていた可能性は高い[6]。ウォリスはナスィールッディーン・トゥースィーの息子 Sadr al-Tusi の業績、特に平行線公準も知っていた。ウォリスは平行線公準についても後に考察を残している[7]。
暗算能力[編集]
ウォリスは暗算能力に優れていた。寝つきが悪いため、ベッドに横たわりながら暗算をすることが多かった。ある晩、ある数の平方根を53桁まで暗算したことがある。翌朝、脳裏に焼きついていたその平方根の27桁までをスラスラと書いたという。この特異な能力は当時重大視され、王立協会の事務総長ヘンリー・オルデンバーグは人を派遣してウォリスがどうやって暗算しているのか調査させた。そして、1685年のフィロソフィカル・トランザクションズ誌にこれについての考察を掲載している。
ホッブズとの論争[編集]
1650年代中頃、ウォリスとトマス・ホッブズとの間に論争が起き、それが長く続くことになった。ホッブズの著作『物体論』（1655年）に数学的誤りがあることを数学者らが指摘したことが発端となった。ホッブズは円積問題を解いたと主張し、1670年代まで両陣営が主張し合う形で論争が続いた。
その他の業績[編集]
1687年の著書 Institutio logicae は広く読まれた。また、Grammatica linguae Anglicanae は英文法についての著作で、18世紀にも出版されている。神学関係の著書もある[8]。
小説[編集]
ウォリスは、イアン・ペアズの歴史推理小説 An Instance of the Fingerpost にあまり好ましくない人物として登場している。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AA%E3%82%B9
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 300: New challenges on the division by zero z/0=0\\
(2016.05.22)}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\
Kiryu 376-0041, Japan\\
%\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, for its importance we would like to state the
situation on the division by zero and propose basic new challenges.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a {\bf natural extension} of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we found the simple and beautiful result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei Takahasi (\cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing the extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2):
\bigskip
{\bf Proposition 1. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ satisfying
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
Note that the complete proof of this proposition is simply given by 2 or 3 lines.
\medskip
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$ ({\bf should be defined}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere. Therefore, the division by zero will give great impacts to complex analysis and to our ideas for the space and universe.
However, the division by zero (1.2) is now clear, indeed, for the introduction of (1.2), we have several independent approaches as in:
\medskip
1) by the generalization of the fractions by the Tikhonov regularization or by the Moore-Penrose generalized inverse,
\medskip
2) by the intuitive meaning of the fractions (division) by H. Michiwaki,
\medskip
3) by the unique extension of the fractions by S. Takahasi, as in the above,
\medskip
4) by the extension of the fundamental function $W = 1/z$ from ${\bf C} \setminus \{0\}$ into ${\bf C}$ such that $W =1/z$ is a one to one and onto mapping from $ {\bf C} \setminus \{0\} $ onto ${\bf C} \setminus \{0\}$ and the division by zero $1/0=0$ is a one to one and onto mapping extension of the function $W =1/z $ from ${\bf C}$ onto ${\bf C}$,
\medskip
and
\medskip
5) by considering the values of functions with the mean values of functions.
\medskip
Furthermore, in (\cite{msy}) we gave the results in order to show the reality of the division by zero in our world:
\medskip
\medskip
A) a field structure containing the division by zero --- the Yamada field ${\bf Y}$,
\medskip
B) by the gradient of the $y$ axis on the $(x,y)$ plane --- $\tan \frac{\pi}{2} =0$,
\medskip
C) by the reflection $W =1/\overline{z}$ of $W= z$ with respect to the unit circle with center at the origin on the complex $z$ plane --- the reflection point of zero is zero,
\medskip
and
\medskip
D) by considering rotation of a right circular cone having some very interesting
phenomenon from some practical and physical problem.
\medskip
In (\cite{mos}), many division by zero results in Euclidean spaces are given and the basic idea at the point at infinity should be changed. In (\cite{ms}), we gave beautiful geometrical interpretations of determinants from the viewpoint of the division by zero. The results show that the division by zero is our basic and elementary mathematics in our world.
\medskip
See J. A. Bergstra, Y. Hirshfeld and J. V. Tucker \cite{bht} for the relationship between fields and the division by zero, and the importance of the division by zero for computer science. It seems that the relationship of the division by zero and field structures are abstract in their paper.
Meanwhile, J. P. Barukcic and I. Barukcic (\cite{bb}) discussed recently the relation between the divisions $0/0$, $1/0$ and special relative theory of Einstein. However, their logic seems to be curious and their results contradict with ours.
Furthermore, T. S. Reis and J.A.D.W. Anderson (\cite{ra,ra2}) extend the system of the real numbers by introducing an ideal number for the division by zero $0/0$.
Meanwhile, we should refer to up-to-date information:
{\it Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough
Kurt Arbenz
https://www.researchgate.net/publication/272022137 Riemann Hypothesis Addendum - Breakthrough.}
\medskip
Here, we recall Albert Einstein's words on mathematics:
Blackholes are where God divided by zero.
I don't believe in mathematics.
George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} [1]：
1. Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.
For our ideas on the division by zero, see the survey style announcements 179,185,237,246,247,250 and 252 of the Institute of Reproducing Kernels (\cite{ann179,ann185,ann237,ann246,ann247,ann250,ann252,ann293}).
\section{On mathematics}
Apparently, the division by zero is a great missing in our mathematics and the result (1.2) is definitely determined as our basic mathematics, as we see from Proposition 1. Note its very general assumptions and many fundamental evidences in our world in (\cite{kmsy,msy,mos}). The results will give great impacts on Euclidean spaces, analytic geometry, calculus, differential equations, complex analysis and physical problems. See our announcements for the details.
The mysterious history of the division by zero over one thousand years is a great shame of mathematicians and human race on the world history, like the Ptolemaic system (geocentric theory). The division by zero will become a typical symbol of foolish human race with long and unceasing struggles. Future people will realize this fact as a definite common sense.
We should check and fill our mathematics, globally and beautifully, from the viewpoint of the division by zero. Our mathematics will be more perfect and beautiful, and will give great impacts to our basic ideas on the universe.
\section{Albert Einstein's biggest blunder}
The division by zero is directly related to the Einstein's theory and various
physical problems
containing the division by zero. Now we should check the theory and the problems by the concept of the RIGHT and DEFINITE division by zero. Now is the best time since 100 years from Albert Einstein. It seems that the background knowledge is timely fruitful.
\section{Computer systems}
The above Professors listed are wishing the contributions in order to avoid the zero division trouble in computers. Now, we should arrange new computer systems in order not to meet the division by zero trouble in computer systems.
\section{General ideas on the universe}
The division by zero may be related to religion, philosophy and the ideas on the universe, and it will creat a new world. Look the new world.
\bigskip
We are standing on a new generation and in front of the new world, as in the discovery of the Americas.
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
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Announcement 237 (2015.6.18): A reality of the division by zero $z/0=0$ by geometrical optics.
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Announcement 246 (2015.9.17): An interpretation of the division by zero $1/0=0$ by the gradients of lines.
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\end{thebibliography}
\end{document}
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