POR JAVIER YANES 29 DE NOVIEMBRE DE 2015
Nada mejor para colocar el chorro final de nata a esta semana dedicada a Einstein que una vuelta a los orígenes. El otro día conté que, según el punto de vista del propio físico alemán, la que hoy se recuerda como su genialidad individual era realmente una consecuencia directa del trabajo de otros antes que él; esa imagen clásica en ciencia de ver más allá aupándose sobre los hombros de gigantes. O en otra más pop a lo Indiana Jones, recorrer el último tramo hasta el escondite del Santo Grial gracias a que otros fueron resolviendo las pistas del mapa. Lo cual no oscurece el mérito de Indy, ni el de Albert.
Retrato de Giordano Bruno (1548-1600). Imagen de Wikipedia.
En el caso de Einstein, él mismo citó a Faraday, Maxwell y Lorentz. En el principio hubo un londinense inigualable llamado Michael Faraday, un humilde aprendiz de encuadernador que nunca fue a la Universidad y que a pesar de ello descubrió el electromagnetismo; de él deberíamos acordarnos cada vez que pulsemos un interruptor y se haga la luz. Su relevo lo recogió un aristócrata escocés llamado James Clerk Maxwell que tradujo a ecuaciones lo que Faraday había descubierto.
Poco después el holandés Hendrik Lorentz comenzó a trabajar sobre las ecuaciones de Maxwell, descubriendo que se podía aplicar a ellas un tipo de transformaciones para hacerlas funcionar en cualquier sistema de referencia. Dicho de otro modo, que las leyes eran siempre válidas si dejamos de contemplar el espacio y el tiempo como términos absolutos; si olvidamos la ficción de que en el espacio existe algo que lo rellena y que permite definir un punto fijo. Lo que Einstein empleó como premisa, la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, era una consecuencia del trabajo de Lorentz sobre las ecuaciones de Maxwell que explicaban las observaciones de Faraday.
Los sistemas de referencia a los que se aplicaban las transformaciones de Lorentz son aquellos que se mueven uno respecto al otro a una velocidad constante. Este es el escenario de la relatividad especial, descrito por Einstein en 1905 y que diez años más tarde amplió al caso más general que incluye la aceleración, en el que por tanto encajaría la gravedad y, con ella, todo el universo.
Pero fijémonos en esta situación de dos sistemas que se mueven uno respecto al otro a velocidad constante. No es un concepto físico abstracto. Cuando volamos en un avión, si no miramos por la ventana, y si no fuera por el ruido de los motores y las posibles turbulencias, parecería que en realidad no estamos moviéndonos. Si dentro del avión pudiéramos lanzar hacia la proa a velocidad constante a una mosca dentro de una caja de cerillas (algo hoy ya imposible debido a las normas de seguridad), la mosca tampoco notaría su movimiento. La mosca y nosotros somos víctimas de una ilusión, porque en realidad nos desplazamos cuando creemos estar quietos. ¿O es al revés?
Mientras, la estela de nuestro avión en el cielo capta la atención de un turista, que reposa apaciblemente sobre una hamaca en una playa ecuatorial. Pero ¿en realidad reposa apaciblemente? El turista no cae en la cuenta de que él, su tumbona, la playa con sus palmeras y todo lo demás están desplazándose a una disparatada velocidad de 1.600 kilómetros por hora, la de la rotación de la Tierra en el Ecuador. Pero el turista no cae en la cuenta de esto porque la Tierra no lleva motores ni sufre turbulencias. Y cuando mira hacia lo que existe fuera de su enorme nave, observa que en apariencia son el Sol y las estrellas los que se mueven.
Todo esto nos lleva a la conclusión de que el movimiento es siempre relativo y que para un observador es imposible tener una constancia real (=física) de su movimiento. El siguiente vídeo lo ilustra de una manera impecable. En este programa de la BBC, el físico Brian Cox deja caer desde lo alto una bola de bolos y una pluma dentro de una cámara de vacío, para eliminar la interferencia del aire. Ambos objetos caen exactamente al mismo tiempo, dado que experimentan la misma aceleración debida a la gravedad, y por ello los dos llevan la misma velocidad en cualquier momento concreto de su caída.
Con esto se comprende por qué algo hoy obvio para nosotros, que la Tierra gira en torno al Sol, fue históricamente tan difícil de entender y de demostrar. Aristóteles lo dejó claro: si la Tierra se moviera, una piedra lanzada hacia arriba debería caer en trayectoria oblicua, y no en vertical, ya que el suelo avanzaría mientras la piedra está en el aire. Costó mucho demostrar que Aristóteles se equivocaba.
Los libros de ciencia le atribuyen este mérito a Galileo Galilei. El italiano aportó pruebas de observación que demostraban el modelo astronómico de Copérnico, según el cual la Tierra giraba en torno al Sol. Pero sobre todo, Galileo consideraba que tanto podía decirse que, para nosotros, el universo entero se movía respecto a la Tierra, como lo contrario: introdujo el concepto de relatividad.
En su obra Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico, e Coperniciano (Diálogos sobre los dos máximos sistemas del mundo), publicado en 1632, Galileo exponía el caso de un barco que se mueve a velocidad constante y sobre un mar en calma: alguien que estuviera experimentando con el movimiento de cualquier objeto en el interior del barco no notaría ninguna diferencia entre sus observaciones y las de alguien repitiendo los mismos experimentos en tierra.
Regresando brevemente hacia delante, la relatividad de Galileo sería el punto de partida que permitió a Isaac Newton formular sus leyes del movimiento, y siglos más tarde a Einstein recoger las transformaciones de Lorentz sobre las ecuaciones de Maxwell del fenómeno descrito por Faraday para concluir que la naturaleza se explicaba mejor suponiendo que las leyes físicas son inmutables y que, por tanto, son el espacio y el tiempo los que se deforman.
Volvamos ahora de nuevo hacia atrás. Lo cierto es que, como en el caso de Einstein, en realidad tampoco lo de Galileo fue un chispazo de genialidad individual. Desde Aristóteles, que puso los deberes, hubo otros gigantes que prestaron sus hombros, aunque Galileo no era demasiado propenso a reconocerlo: en 1610, su amigo Martin Hasdale le escribió una carta en la que decía:
Esta mañana tuve la oportunidad de hacerme amigo de Kepler […] Le pregunté qué le gusta de ese libro tuyo y me respondió que durante muchos años ha intercambiado cartas contigo, y que está realmente convencido de que no conoce a nadie mejor que tú en esta profesión […] Respecto a este libro, dice que realmente mostraste la divinidad de tu genio; pero estaba en cierto modo molesto, no solo por la nación alemana, sino por ti mismo, ya que no mencionaste a aquellos autores que iniciaron el asunto y te dieron la oportunidad de investigar lo que has hallado ahora, nombrando entre ellos a Giordano Bruno entre los italianos, a Copérnico y a sí mismo.
La carta figura en la colección de la correspondencia de Galileo, según recoge un estudio firmado por Alessandro De Angelis y Catarina Espirito Santo que se publicará próximamente en la revista Journal of Astronomical History and Heritage. Pero dejando aparte el censurable comportamiento de Galileo, y el hecho de que otros estudiosos como Jean Buridan o Nicole Oresme ya habían reflexionado en torno a las ideas que el italiano desarrollaría más tarde, De Angelis y Espirito Santo destacan un nombre que aparece en la carta de Hasdale y cuya contribución al principio de la relatividad no se ha reconocido: Giordano Bruno.
En 1584, Bruno publicó una obra titulada La cena de le ceneri (La cena del Miércoles de Ceniza) en la que empleó antes que Galileo el ejemplo del barco para enunciar que el avance de este era irrelevante de cara a cualquier observación del movimiento de las cosas en su interior. Esto lo atribuyó a una “virtud” por la cual todos los objetos del barco toman parte en su movimiento, estén en contacto con él o no. Según el estudio, Bruno estaba anticipando el concepto de inercia, la innovación introducida por Galileo (aunque acuñada por Kepler) que diferenciaba su visión de la de autores anteriores; para estos, el hecho de que un objeto suspendido dentro de un barco se moviera junto con la nave se debía a que era el aire el que lo arrastraba.
Según De Angelis y Spirito Santo, es probable que Galileo estuviera enterado del trabajo de Bruno e incluso que ambos llegaran a conocerse, ya que coincidieron en Venecia durante largos períodos. Pero aparte de que Galileo nunca admitiera esta influencia, los autores opinan que el hecho de que Bruno fuera quemado en la hoguera por sus ideas teológicas ha devaluado su contribución a la física. Así que por mi parte, y para cerrar esta semana de relatividad, vaya aquí mi recuerdo a Giordano Bruno, el primer Einstein, quemado vivo en Roma el 17 de febrero de 1600, en una época de matanzas auspiciadas por el fanatismo religioso. Y mi deseo de que ojalá esa época termine algún día.http://blogs.20minutos.es/ciencias-mixtas/2015/11/29/el-primer-einstein-fue-quemado-vivo/
Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}
\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{\bf Announcement 179: Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics\\
}
\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\
}
\date{\today}
\maketitle
{\bf Abstract: } In this announcement, we shall introduce the zero division $z/0=0$. The result is a definite one and it is fundamental in mathematics.
\bigskip
\section{Introduction}
%\label{sect1}
By a natural extension of the fractions
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
for any complex numbers $a$ and $b$, we, recently, found the surprising result, for any complex number $b$
\begin{equation}
\frac{b}{0}=0,
\end{equation}
incidentally in \cite{s} by the Tikhonov regularization for the Hadamard product inversions for matrices, and we discussed their properties and gave several physical interpretations on the general fractions in \cite{kmsy} for the case of real numbers. The result is a very special case for general fractional functions in \cite{cs}.
The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, google site with division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628, however,
Sin-Ei, Takahasi (\cite{taka}) (see also \cite{kmsy}) established a simple and decisive interpretation (1.2) by analyzing some full extensions of fractions and by showing the complete characterization for the property (1.2). His result will show that our mathematics says that the result (1.2) should be accepted as a natural one:
\bigskip
{\bf Proposition. }{\it Let F be a function from ${\bf C }\times {\bf C }$ to ${\bf C }$ such that
$$
F (b, a)F (c, d)= F (bc, ad)
$$
for all
$$
a, b, c, d \in {\bf C }
$$
and
$$
F (b, a) = \frac {b}{a }, \quad a, b \in {\bf C }, a \ne 0.
$$
Then, we obtain, for any $b \in {\bf C } $
$$
F (b, 0) = 0.
$$
}
\medskip
\section{What are the fractions $ b/a$?}
For many mathematicians, the division $b/a$ will be considered as the inverse of product;
that is, the fraction
\begin{equation}
\frac{b}{a}
\end{equation}
is defined as the solution of the equation
\begin{equation}
a\cdot x= b.
\end{equation}
The idea and the equation (2.2) show that the division by zero is impossible, with a strong conclusion. Meanwhile, the problem has been a long and old question:
As a typical example of the division by zero, we shall recall the fundamental law by Newton:
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
\end{equation}
for two masses $m_1, m_2$ with a distance $r$ and for a constant $G$. Of course,
\begin{equation}
\lim_{r \to +0} F =\infty,
\end{equation}
however, in our fraction
\begin{equation}
F = G \frac{m_1 m_2}{0} = 0.
\end{equation}
\medskip
Now, we shall introduce an another approach. The division $b/a$ may be defined {\bf independently of the product}. Indeed, in Japan, the division $b/a$ ; $b$ {\bf raru} $a$ ({\bf jozan}) is defined as how many $a$ exists in $b$, this idea comes from subtraction $a$ repeatedly. (Meanwhile, product comes from addition).
In Japanese language for "division", there exists such a concept independently of product.
H. Michiwaki and his 6 years old girl said for the result $ 100/0=0$ that the result is clear, from the meaning of the fractions independently the concept of product and they said:
$100/0=0$ does not mean that $100= 0 \times 0$. Meanwhile, many mathematicians had a confusion for the result.
Her understanding is reasonable and may be acceptable:
$100/2=50 \quad$ will mean that we divide 100 by 2, then each will have 50.
$100/10=10 \quad$ will mean that we divide 100 by10, then each will have 10.
$100/0=0 \quad$ will mean that we do not divide 100, and then nobody will have at all and so 0.
Furthermore, she said then the rest is 100; that is, mathematically;
$$
100 = 0\cdot 0 + 100.
$$
Now, all the mathematicians may accept the division by zero $100/0=0$ with natural feelings as a trivial one?
\medskip
For simplicity, we shall consider the numbers on non-negative real numbers. We wish to define the division (or fraction) $b/a$ following the usual procedure for its calculation, however, we have to take care for the division by zero:
The first principle, for example, for $100/2 $ we shall consider it as follows:
$$
100-2-2-2-,...,-2.
$$
How may times can we subtract $2$? At this case, it is 50 times and so, the fraction is $50$.
The second case, for example, for $3/2$ we shall consider it as follows:
$$
3 - 2 = 1
$$
and the rest (remainder) is $1$, and for the rest $1$, we multiple $10$,
then we consider similarly as follows:
$$
10-2-2-2-2-2=0.
$$
Therefore $10/2=5$ and so we define as follows:
$$
\frac{3}{2} =1 + 0.5 = 1.5.
$$
By these procedures, for $a \ne 0$ we can define the fraction $b/a$, usually. Here we do not need the concept of product. Except the zero division, all the results for fractions are valid and accepted.
Now, we shall consider the zero division, for example, $100/0$. Since
$$
100 - 0 = 100,
$$
that is, by the subtraction $100 - 0$, 100 does not decrease, so we can not say we subtract any from $100$. Therefore, the subtract number should be understood as zero; that is,
$$
\frac{100}{0} = 0.
$$
We can understand this: the division by $0$ means that it does not divide $100$ and so, the result is $0$.
Similarly, we can see that
$$
\frac{0}{0} =0.
$$
As a conclusion, we should define the zero divison as, for any $b$
$$
\frac{b}{0} =0.
$$
See \cite{kmsy} for the details.
\medskip
\section{In complex analysis}
We thus should consider, for any complex number $b$, as (1.2);
that is, for the mapping
\begin{equation}
w = \frac{1}{z},
\end{equation}
the image of $z=0$ is $w=0$. This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere.
However, we shall recall the elementary function
\begin{equation}
W(z) = \exp \frac{1}{z}
\end{equation}
$$
= 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + \cdot \cdot \cdot .
$$
The function has an essential singularity around the origin. When we consider (1.2), meanwhile, surprisingly enough, we have:
\begin{equation}
W(0) = 1.
\end{equation}
{\bf The point at infinity is not a number} and so we will not be able to consider the function (3.2) at the zero point $z = 0$, meanwhile, we can consider the value $1$ as in (3.3) at the zero point $z = 0$. How do we consider these situations?
In the famous standard textbook on Complex Analysis, L. V. Ahlfors (\cite{ahlfors}) introduced the point at infinity as a number and the Riemann sphere model as well known, however, our interpretation will be suitable as a number. We will not be able to accept the point at infinity as a number.
As a typical result, we can derive the surprising result: {\it At an isolated singular point of an analytic function, it takes a definite value }{\bf with a natural meaning.} As the important applications for this result, the extension formula of functions with analytic parameters may be obtained and singular integrals may be interpretated with the division by zero, naturally (\cite{msty}).
\bigskip
\section{Conclusion}
The division by zero $b/0=0$ is possible and the result is naturally determined, uniquely.
The result does not contradict with the present mathematics - however, in complex analysis, we need only to change a little presentation for the pole; not essentially, because we did not consider the division by zero, essentially.
The common understanding that the division by zero is impossible should be changed with many text books and mathematical science books. The definition of the fractions may be introduced by {\it the method of Michiwaki} in the elementary school, even.
Should we teach the beautiful fact, widely?:
For the elementary graph of the fundamental function
$$
y = f(x) = \frac{1}{x},
$$
$$
f(0) = 0.
$$
The result is applicable widely and will give a new understanding for the universe ({\bf Announcement 166}).
\medskip
If the division by zero $b/0=0$ is not introduced, then it seems that mathematics is incomplete in a sense, and by the intoduction of the division by zero, mathematics will become complete in a sense and perfectly beautiful.
\bigskip
section{Remarks}
For the procedure of the developing of the division by zero and for some general ideas on the division by zero, we presented the following announcements in Japanese:
\medskip
{\bf Announcement 148} (2014.2.12): $100/0=0, 0/0=0$ -- by a natural extension of fractions -- A wish of the God
\medskip
{\bf Announcement 154} (2014.4.22): A new world: division by zero, a curious world, a new idea
\medskip
{\bf Announcement 157} (2014.5.8): We wish to know the idea of the God for the division by zero; why the infinity and zero point are coincident?
\medskip
{\bf Announcement 161} (2014.5.30): Learning from the division by zero, sprits of mathematics and of looking for the truth
\medskip
{\bf Announcement 163} (2014.6.17): The division by zero, an extremely pleasant mathematics - shall we look for the pleasant division by zero: a proposal for a fun club looking for the division by zero.
\medskip
{\bf Announcement 166} (2014.6.29): New general ideas for the universe from the viewpoint of the division by zero
\medskip
{\bf Announcement 171} (2014.7.30): The meanings of product and division -- The division by zero is trivial from the own sense of the division independently of the concept of product
\medskip
{\bf Announcement 176} (2014.8.9): Should be changed the education of the division by zero
\bigskip
\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{ahlfors}
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1966.
\bibitem{cs}
L. P. Castro and S.Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
\bibitem{kmsy}
S. Koshiba, H. Michiwaki, S. Saitoh and M. Yamane,
An interpretation of the division by zero z/0=0 without the concept of product
(note).
\bibitem{kmsy}
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$,
Int. J. Appl. Math. Vol. 27, No 2 (2014), pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
\bibitem{msty}
H. Michiwaki, S. Saitoh, M. Takagi and M. Yamada,
A new concept for the point at infinity and the division by zero z/0=0
(note).
\bibitem{s}
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. Vol.4 No.2 (2014), 87-95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
\bibitem{taka}
S.-E. Takahasi,
{On the identities $100/0=0$ and $ 0/0=0$}
(note).
\bibitem{ttk}
S.-E. Takahasi, M. Tsukada and Y. Kobayashi, Classification of continuous fractional binary operators on the real and complex fields. (submitted)
\end{thebibliography}
\end{document}
アインシュタインも解決できなかった「ゼロで割る」問題
http://matome.naver.jp/odai/2135710882669605901
私は数学を信じない。 アルバート・アインシュタイン / I don't believe in mathematics. Albert Einstein→ゼロ除算ができなかったからではないでしょうか。
