16x45唔等如45x16？難怪啲細路憎數學
最大問題係，呢啲無謂嘢，會搞到學生冇晒興趣。學數學為乜？每個人唔同。為咗追求宇宙間嘅美，為咗做金融才俊，為咗考好DSE，為咗去屋企間茶餐廳幫手。全無問題。而冇一種目標，係要你研究咩名數或乘數被乘數。
李聲揚
一切由一張網上流傳嘅「名校Secrets」圖片開始：
（網上圖片）
45蚊張戲飛，16個學生，總共幾錢？
學生答對係720蚊，但列式寫16 x 45，老師話錯，係45 x 16先啱。
誰是誰非？畀定答案你，我認為學生冇錯。老師當然可以跟書跟課程「依法辦事」，但老師嘅法，係惡法，要改正了。
英文世界 規則完全調轉
問一個令人極抓狂嘅問題，本質上同戲飛問題差不多，《Huffington Post》都討論過：Why Was 5 x 3 = 5 + 5 + 5 Marked Wrong？
（網上圖片）
即係，到底5 x 3，係5 + 5 + 5，定係3 + 3 + 3 + 3 + 3？你睇外國人講，會話你知，係3 + 3 + 3 + 3 + 3（當然總有人唔同意）。但，你問香港人，應該話你知，係5 + 5 + 5。
英文社會，就話5 x 3前面係「重覆嘅次數」，後面係個「主角」。但中文社會，剛好掉轉，5 x 3前面先係個「主角」，又名「被乘數」，後面係「重覆嘅次數」，又名「乘數」。完全掉轉，死未。
邊個啱，邊樣應該寫先？答案係，答你唔到，只係約定俗成，大家用嘅語文唔同。作為讀咗多年數學又教咗多年數學兼推廣多年數學嘅過來人。我勸你，唔好執着於呢個問題，否則你好快會痴線。而事實，拗呢個問題冇意思。
首先講啲基本嘢。3 x 5，同5 x 3，答案真係一樣嘅，放心，你冇畀人呃咗好多年，呢個宇宙中依然係咁。反正咩係乘法只係人嘅定義。
但同時間，有人話「計得到答案就得啦」，我好有保留。數學唔止求答案，真正嘅藝術係過程。上次《九頭鳥》篇文都講過，印度數學家拉馬努金（Ramanujan），百年難得一見嘅神童，佢話神講咗答案佢知，英國佬師傅哈代（G.H. Hardy）冇佢咁好氣，唔列式嘅唔鬼理你。所以，列式當然重要，但冇人話得一種方式。
唔好講咩「規矩係咁」，搞錯晒你。數學當然有規矩。數學如捉棋，要跟規則，捉棋唔可以飛象過河，數學唔可以division by zero（唔譯中文，咩除數被除數又係人都癲），呢啲係遊戲規矩。但咩列式名數呢啲，係變態小學老師（或設計課程嘅人）諗出嚟嘅嘢。即係話捉棋唔可以着紅色衫，唔可以蹺腳。為乜？唔知，只係滿足嗰啲人嘅強迫症。
話一定要45x16先啱，等如話捉棋唔可以着紅色衫，為乜？（Getty Images）
計乘數點會只得一種方法啱？
舉個例子：金融才俊陸先生有2架車，每架有4個轆。咁佢總共有幾多個轆？
- 普通成年人多數會寫2 x 4 = 8，邊個數字出先咪寫先。
- 咁你鍾意掉轉4 x 2 = 8亦得，一般人唔會話錯。
- 但，做煩膠嘅小學教師，可能堅持只有4 x 2先啱，2 x 4係錯。
點解？
因為數車轆嘛，係4 + 4，4係「被乘數」，係「主角」，要放前。2係「乘數」，「重覆嘅次數」，要放後。所以要寫4 x 2。
但，你堅持唔可以2 x 4？原因何在？你話係4 + 4而唔係2 + 2 + 2 + 2？你肯定？
不如我咁數，有2個左前轆，2個右前轆，2個左後轆，2個右後轆。總共咪8個轆。點解唔可以係2 + 2 + 2 + 2，點解唔可以係2 x 4？
同樣地，「名校Secrets」嘅問題，一樣。
45蚊張戲飛，16個學生。有人堅持話係45 x 16，因為係45蚊連加16次。
但，如果我掉轉諗呢？點解唔可以係16連加45次？
賣飛嘅係數學老師放工兼職，成班學生玩佢。每人拎第1蚊出嚟，直到16個人拎哂16蚊在枱面推畀佢。然後拎第2蚊……一路拎到第45蚊，16蚊連加45次。啲學生係怪啲，亦唔知做乜咁多1蚊銀。但，有冇數錯？冇。答案亦冇錯。咁點解唔可以16 x 45？
搞呢啲咩乘數被乘數次序，絕對係矯枉過正。好似呢個情況咁，個學生有列式，完全冇問題。唯一要挑剔，你可以話佢條式冇「名數」（但最後答案有）。當然，「名數」呢樣嘢亦係另一大除褲放屁的惡夢。
這種教法最大問題是會令學童對數學失去興趣。（資料圖片）
如果有小數點又點算好？
最大問題係，呢啲無謂嘢，會搞到學生冇晒興趣。學數學為乜？每個人唔同。為咗追求宇宙間嘅美，為咗做金融才俊，為咗考好DSE，為咗去屋企間茶餐廳幫手。全無問題。而冇一種目標，係要你研究咩名數或乘數被乘數。正如學畫畫，可能為搵食，為溝女，為真善美，或者為紀錄低當時嘅嘢。全部冇問題。但，會唔會逼你呢一筆一定要向左，呢一筆一定要向右？打籃球打羽毛球老師會教你正確手勢，係因為學壞手勢影響你第時發展。但堅持咩乘數被乘數，係掉轉，搞到你充滿挫敗感，冇心機再玩。
同樣地，如果夠學究或者夠老餅嘅，可能聽過咩主語謂語賓語。你去讀語言學當然有用，你主修中文都應該有用，你學英文都會學文法。但，對於母語係中文嘅嚟講，學中文理得佢乜鬼主語謂語賓語。如果你講每句嘢老師都同你講呢啲，你應該會發癲。
仍然堅持咩乘數被乘數係好大分別嘅不能搞錯嘅，咁又問你，長方形面積，長 x 闊，邊個係乘數邊個係被乘數？邊個倍大邊一個？3 x 4嘅長方形，係3倍大4次定4倍大3次？仲未發癲，堅持有答案嘅，問埋你，咁1.2 x 1.3嘅長方形，邊個乘數邊個被乘數？係 1.2 去加 1.3 次定 1.3 去加 1.2 次？而我不知道咩係加 1.2 次或 1.3 次。
學生已經夠煩 放過佢哋啦
其實，將乘法當係加法嘅延續，本身已經係一個問題。唔使好高深，高小教分數乘法你應該已經發癲。讀初中時，無論 2 乘 y 定 y 乘 2，你都係會寫2y，仲邊得閒研究係 2 個 y 定 y 個 2。你學計圓面積，半徑 x 半徑 x π，都唔會理咩乘數被乘數，亦用唔到加法去解。（而更令人抓狂嘅係，中文寫半徑 x 半徑 x π，但英文多數寫 πr2）
結論：你可以Google下multiplication is repeated addition。外國嘅數學家或教師，根本都拗唔到邊樣放前邊樣放後，乜嘢係乘數被乘數。而家佢哋嘅共識係：根本就唔應該將乘法當係重覆加法咁教，過去咁多年錯晒。
畀小學生理解，當然可以提下乘法同加法嘅關係，小朋友總會問你三八廿四即係乜。但完全冇必要去搞咩乘數被乘數，更冇必要矯枉過正，堅持4 x 2一定要係2 + 2 + 2 + 2，或堅持係4 + 4。學生已經夠煩，放過佢哋啦。
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（本文純屬作者意見，不代表香港01立場。）
李聲揚
【袋鼠法庭】
東盛證券策略師。葉念琛，張小嫻，勞蘇，小企鵝，東歐。去過下切爾諾貝爾同瓦努阿圖，教過下書，撈過下投行。工作上經常遇人不淑，工作外則多數係對方遇人不淑。http://www.hk01.com/01%E5%8D%9A%E8%A9%95-%E7%99%BE%E7%A7%91/48303/16x45%E5%94%94%E7%AD%89%E5%A6%8245x16-%E9%9B%A3%E6%80%AA%E5%95%B2%E7%B4%B0%E8%B7%AF%E6%86%8E%E6%95%B8%E5%AD%B8
読んでためになりました：
再生核研究所声明325（2016.10.14） ゼロ除算の状況について ー 研究・教育活動への参加を求めて
アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題 ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における初歩的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の初歩的な部分の期待される変更は かつて無かった事である。ユークリッドの考えた空間と解析幾何学などで述べられる我々の空間は実は違っていた。いわゆる非ユークリッド空間とも違う空間が現れた。不思議な飛び、ワープ現象が起きている世界である。ゼロと無限の不思議な関係を述べている。これが我々の空間であると考えられる。
そこで、最近の成果を基に現状における学術書、教科書の変更すべき大勢を外観して置きたい。特に、大学学部までの初等数学において、日本人の寄与は皆無であると言えるから、ゼロ除算の教育、研究は日本人が数学の基礎に貢献できる稀なる好機にもなるので、数学者、教育者など関係者の協力、参加をお願いしたい。
先ず、数学の基礎である四則演算において ゼロでは割れない との世の定説を改め、自然に拡張された分数、割り算で、いつでも四則演算は例外なく、可能であるとする。数学はより美しく、完全であった。さらに、数学の奥深い世界を示している。ゼロ除算を含む体の構造、山田体が確立している。その考えは、殆ど当たり前の従来の演算の修正であるが、分数における考え方に新規で重要、面白い、概念がある。その際、小学生から割り算や分数の定義を除算の意味で 繰り返し減法（道脇方式）で定義し、ゼロ除算は自明であるとし 計算機が割り算を行うような算法で 計算方法も指導する。― この方法は割り算の簡明な算法として児童・生徒たちにも歓迎されるだろう。
反比例の法則や関数y=1/xの出現の際には、その原点での値はゼロであると 定義する。その広範な応用は 学習過程の進展に従って どんどん触れて行くこととする。応用する。
いわゆるユークリッド幾何学の学習においては、立体射影の概念に早期に触れ、ゼロ除算が拓いた新しい空間像を指導する。無限、無限の彼方の概念、平行線の概念、勾配の概念を変える必要がある。どのように、如何に、カリキュラムに取り組むかは、もちろん、慎重な検討が必要で、数学界、教育界などの関係者による国家的取り組み、協議が必要である。重要項目は、直交座標系で ｙ軸の勾配はゼロであること。真無限における破壊現象、接線などの新しい性質、解析幾何学との美しい関係と調和。すべての直線が原点を代数的に通り、平行な２直線は原点で代数的に交わっていること。行列式と破壊現象の美しい関係など。三角関数や初等関数でも考え方を修正、補充する。直線とは、そもそも、従来の直線に原点を加えたもので、平行線の公理は実は成り立たず、我々の世界は、ユークリッド空間でも、いわゆる非ユークリッド幾何学でもない、新しい空間である。原点は、あらゆる直線の中心になっている。
大学レベルになれば、微積分、線形代数、微分方程式、複素解析をゼロ除算の発展の成果で修正、補充して行く。複素解析学におけるローラン展開の学習以前でも形式的なローラン展開(負べき項を含む展開)の中心の値をゼロ除算で定義し ― ゼロ除算算法、広範な応用を展開する。最も顕著な例は、tan 90度 の値がゼロであることで、いろいろ幾何学的な説明は、我々の空間の認識を変えるのに教育的で楽しい題材である。特に微分係数が正や負の無限大に収束（発散）する時、微分係数をゼロと修正することによって、微分法の多くの公式や定理の表現が簡素化され、教科書の結構な記述の変更が要求される。媒介変数を含む多くの関数族は、ゼロ除算 算法で統一的な視点が与えられる。多くの公式の記述が簡単になり、修正される。新しい、関数の素性が見えてくる。
複素解析学において 無限遠点はゼロで表現されると、コペルニクス的変更（無限とされていたのが実はゼロだった）を行い、極の概念を次のように変更する。極、特異点の定義は そのままであるが、それらの点の近傍で、限りなく無限の値に近づく値を位数まで込めて取るが、特異点自身では、ゼロ除算に言う、有限確定値をとるとする。その有限確定値のいろいろ幾何学的な意味を学ぶ。古典的な鏡像の定説；原点の 原点を中心とする円に関する鏡像は無限遠点であるは、誤りであり、修正し、ゼロであると いろいろな根拠によって説明する。これら、無限遠点の考え方の修正は、ユークリッド以来、我々の空間に対する認識の世界史上における大きな変更であり、数学を越えた世界観の変更を意味している。これはアリストテレスの世界の連続性の概念を変えるもので強力な不連続性を示している。 ― この文脈では天動説が地動説に変わった歴史上の事件が想起される。
ゼロ除算は 物理学を始め、広く自然科学や計算機科学への大きな影響があり、さらに哲学、宗教、文化への大きな影響がある。しかしながら、ゼロ除算の研究成果を教科書、学術書に遅滞なく取り入れていくことは、真智への愛、真理の追究の表現であり、四則演算が自由にできないとなれば、数学者ばかりではなく、人類の名誉にも関わることである。実際、ゼロ除算の歴史は 止むことのない闘争の歴史とともに人類の恥ずべき人類の愚かさの象徴となるだろう。世間ではゼロ除算について不適切な情報が溢れていて 今尚奇怪で抽象的な議論によって混乱していると言える。― 美しい世界が拓けているのに、誰がそれを閉ざそうと、隠したいと、無視したいと考えられるだろうか。我々は間違いを含む、不適切な数学を教えていると言える： ― 再生核研究所声明 41： 世界史、大義、評価、神、最後の審判 ―。
地動説のように真実は、実体は既に明らかである。 ― 研究と研究成果の活用の推進を 大きな夢を懐きながら 要請したい。 研究課題は基礎的で関与する分野は広い、いろいろな方の研究・教育活動への参加を求めたい。素人でも数学の研究に参加できる新しい初歩的な数学を沢山含んでいる。ゼロ除算は発展中の世界史上の事件、問題であると言える。
以 上
追記：
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf DOI:10.12732/ijam.v27i2.9.
*156 Qian,T./Rodino,L.(eds.): Mathematical Analysis, Probability and
Applications -Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China.
(Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 177) Sep. 2016 305 pp. (Springer)
Paper:Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces
Dear Prof. Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh
With reference to above, The Editor-in-Chief IJMC (Prof. Haydar Akca) accepted the your paper after getting positive and supporting respond from the reviewer.
Now, we inform you that your paper is accepted for next issue ofInternational Journal of Mathematics and Computation 9 Vol. 28; Issue 1, 2017),
数学基礎学力研究会のホームページ
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