Permanenzprinzip
Theorie Axiom Mathematik
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Das Permanenzprinzip ist ein Begriff aus der Didaktik der Zahlbereichserweiterungen. Es besagt, dass beim Aufbau einer komplexen mathematischen Theorie die mathematischen Strukturen der zugrundeliegenden Theorie so weit wie möglich erhalten bleiben sollen.
Dieses Arbeitsprinzip wurde von Hermann Hankel 1867 für den axiomatischen Aufbau mathematischer Theorien aufgestellt. Das Permanenzprinzip ist eine Ausfaltung des wissenschaftlichen Sparsamkeitsprinzips, das auch unter dem Namen „Ockhams Rasiermesser“ bekannt ist und auf die Formel „einfach ist am besten“ gebracht werden kann.[1]
Anwendung bei der axiomatischen Definition des Zahlensystems
Äquivalenzklassen: Gleichfarbige Felder
gehören zur gleichen Äquivalenzklasse
Typisches Beispiel für die Anwendung des Permanenzprinzips ist die axiomatische Definition des Zahlensystems. Dabei geht man von einem einfachen Zahlenraum – z. B. den natürlichen Zahlen \mathbb{N} – aus und konstruiert auf dieser Grundlage einen komplexeren Zahlenraum. Die Motivation für den Aufbau einer komplexeren Theorie ist dabei der Versuch, dass alle Rechenregeln möglichst universell gelten sollen.
So werden die ganzen Zahlen \mathbb{Z} als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen definiert, und man kann die bisherigen natürlichen Zahlen in kanonischer Weise in die ganzen Zahlen einbetten:
0 \implies \lbrace (a,b)\mid b = a \rbrace
1 \implies \lbrace (a,b)\mid b = a + 1\rbrace
2 \implies \lbrace (a,b)\mid b = a + 2\rbrace und so fort (dabei sind a, b natürliche Zahlen)
Diese Einbettung soll nach dem Permanenzprinzip mit den Rechenoperationen verträglich sein.
Beispiel
Mit G(n) sei die zu einer natürlichen Zahl gehörige ganze Zahl bezeichnet. „+“ bezeichne die Addition in den natürlichen Zahlen, „\oplus“ bezeichne die Addition in den ganzen Zahlen. Dann fordert das Permanenzprinzip:
G(n+m) = G(n)\oplus G(m)
Die negativen Zahlen sind dann genau die Äquivalenzklassen, in denen a > b ist:
-1 \implies \lbrace (a,b)\mid a = b + 1\rbrace
-2 \implies \lbrace (a,b)\mid a = b + 2\rbrace und so fort.
In der nebenstehenden Grafik sind die Äquivalenzklassen als gleichfarbige Felder erkennbar.
Die Schreibweise „－1“ ist also nichts anderes als eine Abkürzung für eine Äquivalenzklasse, bei der a = b + 1 ist.
Auf diesen Äquivalenzklassen müssen nun die aus den natürlichen Zahlen bekannten Rechenregeln definiert werden. Dafür gibt es im Prinzip viele Möglichkeiten.
Das Permanenzprinzip fordert nun, die Regeln so zu definieren, dass die Gesetze, die in der Basistheorie gelten, also z. B. Kommutativ- und Assoziativgesetz sowie die Ordnungsrelationen – auch in der neu konstruierten Theorie gelten sollen.
Man kann zeigen, dass es dann im Wesentlichen genau eine Möglichkeit gibt, die Rechenregeln in dieser Weise zu definieren (die „neue“ Addition ist mit \oplus bezeichnet, um sie von der „alten“ Addition innerhalb der natürlichen Zahlen zu unterscheiden):
\lbrace (a,b)\mid b = a + x\rbrace \oplus \lbrace (c,d)\mid c = d + y\rbrace := \lbrace (e,f)\mid e = f + (x+y)\rbrace
Auf der nächsten Stufe – Konstruktion der rationalen Zahlen \mathbb{Q} – wird dieses Prinzip wieder angewandt. Rationale Zahlen werden zunächst wieder als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen definiert. Die Rechenregeln werden nach dem Permanenzprinzip wieder so definiert, dass alle Gesetze und Regeln in den ganzen Zahlen auch für die rationalen Zahlen gelten.
So ist die Addition und die Multiplikation in den natürlichen Zahlen unbeschränkt ausführbar, die Subtraktion hingegen nur, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend. Die Division ist nur ausführbar, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist.
Durch die Einführung der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen werden nun die vier Grundrechenarten universell ausführbar (abgesehen von der Division durch Null); die Potenzierung hingegen ist wiederum nur eingeschränkt möglich: a1/2 ist nur ausführbar, wenn die Basis a eine Quadratzahl ist usw.
Mit der Einführung der reellen Zahlen \mathbb{R}wird auch die Potenzierung bei positiver Basis universell ausführbar; bei negativer Basis wiederum nur eingeschränkt.
Diese letzte Einschränkung wird schließlich durch die Einführung der komplexen Zahlen \mathbb{C} beseitigt. Man verliert dabei jedoch die Ordnungsrelation: Die komplexen Zahlen lassen sich nicht anordnen. Das Permanenzprinzip kann hier also nicht in vollem Umfang umgesetzt werden.
Anwendung bei der Division durch Null
Division durch Null:
Fiktion oder Realität?
Division durch Null:
Fiktion oder Realität?
Es sieht nun zunächst so aus, als ob nur noch die Division durch Null „nicht möglich“ oder „verboten“ wäre. Daraus ergeben sich zwei mögliche Fragestellungen:
Ist die Null überhaupt eine Zahl, oder lässt sich der axiomatische Aufbau nicht auch ohne die Null bewerkstelligen?
Kann man den Zahlenraum sinnvoll erweitern, sodass schließlich auch die Division durch Null möglich ist?
Nachdem es „die Mathematik“ als unveränderliche Größe nicht gibt, sondern nur verschiedene mathematische Theorien, ist auch der Begriff der „Zahl“ in der Mathematik offen und erweiterbar. So kann man z. B. auf dem Raum der stetigen Funktionen von [0,1] \to [0,1] Rechenregeln definieren und sogar eine Ordnungsrelation. Diese Funktionen sind also auch so etwas Ähnliches wie „Zahlen“. Umgekehrt kann man vorhandene Theorien auch einschränken und untersuchen, welche Gesetze in der eingeschränkten Theorie noch gelten. Ein Beispiel hierfür ist die intuitionistische Mathematik, die nicht nur eine Zahl, sondern ein logisches Gesetz ausschließt, das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten. Derartige Untersuchungen können äußerst fruchtbar sein und tiefe Einblicke in die Natur der zugrundegelegten Axiome geben.
Zahlensysteme ohne „Null“
Es ist nur die Frage, welche Formulierung die Rechenregeln und -gesetze in dieser neuen Theorie annehmen.
Als Beispiel für ein Zahlensystem ohne 0 können von den natürlichen Zahlen ohne 0 ausgehend die ganzen Zahlen definiert werden. Im Bereich der natürlichen Zahlen ohne 0 lassen sich Addition und Multiplikation ohne weiteres definieren. Es ergeben sich die gleichen Regeln wie bei den natürlichen Zahlen mit 0.
Wie dort ist die Subtraktion jedoch nur eingeschränkt durchführbar. Man kann nun wie bisher die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen definieren. Eine Äquivalenzklasse muss nun gesondert behandeln werden: nämlich die Klasse
\lbrace (a,b)\mid a = b\rbrace
Diese Klasse ist wohldefiniert, erhält in der neuen Theorie aber einen Sonderstatus. Denn die bisherige Vereinbarung, diese Klasse mit der „Null“ zu identifizieren, soll ja vermieden werden. Es ergibt sich die gleiche Menge von Äquivalenzklassen wie beim bisherigen Ansatz, wobei die Äquivalenzklasse
\lbrace (a,b)\mid a = b\rbrace
ausgeschlossen wird. Man kann zeigen, dass alle Gesetze erhalten bleiben, es kommt jedoch stets eine Sonderregelung für die Klasse
\lbrace (a,b)\mid a = b\rbrace
hinzu.
Man gewinnt also nichts, es geht jedoch die Einfachheit verloren, alles wird nur komplizierter. Daher ist es schon aus Gründen der Praktikabilität geboten, die Klasse
\lbrace (a,b)\mid a = b\rbrace
mit hinzuzunehmen, vor allem weil es keinen intuitiven Grund gibt, diese Klasse auszuschließen und mit dem Namen „Null“ zu bezeichnen. Jede andere Bezeichnung wäre auch möglich (z. B. neutrales Element) und wird in entsprechenden Kontexten auch verwendet (z. B. in der Gruppentheorie). Im Allgemeinen ist aber die Bezeichnung „Null“ naheliegend und entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.
Zahlensysteme, in denen die Division durch Null definiert ist
Einen Grund, diese „Zahl“ gesondert zu behandeln, scheint es jedoch zu geben, nämlich die Division durch Null. Nachdem der Zahlenraum schon mehrfach erweitert werden konnte, um Rechenoperationen auf dem gesamten Zahlenraum durchführen zu können, stellt sich also die zweite Frage: Kann man den Zahlenraum (sinnvoll) so erweitern, dass eine Division durch Null möglich wird?
Auch diese Frage kann man zunächst einmal bejahen. Man muss „nur“ das Ergebnis der Division durch Null definieren. Die Definition muss jedoch zwei Anforderungen erfüllen, um brauchbar zu sein:
Die bisherigen Rechenregeln sollen möglichst ausnahmslos weitergelten (Permanenzprinzip).
Das Ergebnis einer Division durch Null muss wohldefiniert sein, d. h. eindeutig bestimmt sein.
Im Folgenden wird gezeigt, dass eine Definition, die beide Anforderungen voll erfüllt, nicht möglich ist. Es gibt jedoch eine Definition, die wenigstens einen Teil der Anforderungen erfüllt und daher auch von praktischer Bedeutung ist.
Beim Versuch, die Division durch Null zu definieren, ergibt sich im einfachsten Fall nach dem Permanenzprinzip:
{0 \over 0} = 1 (Forderung 1, denn für a≠0 gilt {a \over a} = 1).
Jedoch andererseits:
{0 \over 0} = {0 \cdot 0 \over 0} = 0 \cdot {0 \over 0} = 0 denn für a≠0 gilt 0 \cdot a = 0.
Bei konsequenter Anwendung des Permanenzprinzips ergibt sich also ein Verstoß gegen die Wohldefiniertheit. Umgekehrt führt jede „eindeutige“ Definition z. B. der Division 0/0 automatisch zu einem Verstoß gegen das Permanenzprinzip.
Da ein Verstoß gegen die Wohldefiniertheit schwerer wiegt als ein Verstoß gegen das Permanenzprinzip, trifft man üblicherweise eine Festlegung der folgenden Art. Dazu erweitert man den Zahlenraum um eine weitere Zahl, die man Θ nennen könnte, und die als das Ergebnis jeglicher Division durch 0 festgelegt wird:
Definition Θ: Θ := a / 0 für alle a∈R.
Folgende Rechenoperationen werden definiert:
Θ 1: a + Θ := Θ und Θ + a = Θ
Θ 2: a － Θ := Θ und Θ － a = Θ
Θ 3: a * Θ := Θ und Θ * a = Θ
Θ 4: a / Θ := Θ und Θ / a = Θ
Θ 5: a ^ Θ := Θ und Θ ^ a = Θ
jeweils für a ∈ R ∪ {Θ}. Das Ergebnis jedes Ausdrucks, in dem irgendwo Θ vorkommt, wird als Θ festgelegt.
Mit diesen Definitionen gelten nun viele bisherige Rechenregeln weiter, wie z. B. a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c, a * (b + c) = a * b + a * c.
Hingegen
a / a = 1 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: Θ / Θ = Θ
a － a = 0 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: Θ － Θ = Θ
0 * a = 0 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: 0 * Θ = Θ
Auch die Ordnungsrelation kann man definieren. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten: entweder Θ ist größer als alle übrigen Zahlen oder Θ ist kleiner als alle anderen Zahlen. Jedoch ist diese Ordnungsrelation mit den oben genannten Rechenregeln nicht mehr verträglich.
Da einige grundlegende Rechenregeln durch die Einführung des Θ nicht mehr gelten, handelt es sich also nicht um eine Erweiterung des Zahlenraumes im Sinne des Permanenzprinzips.
Das Zahlensystem lässt sich zwar erweitern, sodass das Ergebnis der Division durch Null definiert ist. Jedoch hat diese Erweiterung einige Nachteile:
Die Erweiterung ist nicht in eindeutiger Weise möglich. Es gibt verschiedene, untereinander gleichberechtigte Möglichkeiten.
Die Erweiterung führt nicht zu einer Vereinfachung der Regeln – wie bei der Erweiterung der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen hin – sondern zu einer größeren Komplexität.
Die Erweiterung ist nicht verträglich mit dem Permanenzprinzip.
Probleme
Vor allem, weil im Bereich der Ordnungsrelation keine eindeutige Definition möglich ist, hat man sich daher in der mathematischen Welt entschieden, diese Frage einfach offenzulassen: Die Division durch Null ist nicht definiert. Dadurch haben sich dann in der Alltagsmathematik unglückliche Formulierungen wie „die Division durch Null ist nicht möglich“ oder „die Division durch Null ist verboten“ eingebürgert. Richtig ist, dass es einfach keine naheliegende, eindeutige Erweiterung gibt (vor allem im Bereich der Ordnungsrelation) und daher eine Festlegung nicht getroffen wird. Im Bereich der Programmierung ist es jedoch üblich geworden, die Regeln Θ 1 bis Θ 4 zu implementieren, z. B. in Excel, das statt Θ die Notation #DIV0! verwendet.
Zusammenfassung
Im axiomatischen Aufbau des Zahlensystems führt das Permanenzprinzip zu einfachen und eindeutigen Formulierungen und erleichtert insbesondere Lernenden den Einstieg in komplexe mathematische Strukturen. Jedoch sind nicht ausnahmslos intuitive Festlegungen möglich, zum Beispiel bei der Division durch Null. Hier gibt es keine widerspruchsfreien Erweiterungen.
Ein Verzicht auf die „Zahl“ 0 ist ebenfalls möglich, führt aber zu einer unnötigen und deutlich höheren Komplexität bei der Formulierung der mathematischen Gesetze.
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie
http://www.wikiwand.com/de/Permanenzprinzip
再生核研究所声明１９８（2015.1.14） 計算機と人間の違い、そしてそれらの愚かさについて
まず、簡単な例として、割り算、除算の考えを振り返ろう：
声明は一般向きであるから、本質を分かり易く説明しよう。 そのため、ゼロ以上の数の世界で考え、まず、100/2を次のように考えよう：
100-2-2-2-,...,-2.
ここで、2 を何回引けるか（除けるか）と考え、いまは 50 回引いてゼロになるから分数の商は50である。
次に 3/2 を考えよう。まず、
3 - 2 = 1
で、余り1である。そこで、余り1を10倍して、 同様に
10-2-2-2-2-2=0
であるから、10/2=５ となり
3/2 =１＋０．５＝ １．５
とする。３を２つに分ければ、１．５である。
これは筆算で割り算を行うことを 減法の繰り返しで考える方法を示している。
ところで、 除算を引き算の繰り返しで計算する方法は、除算の有効な計算法がなかったので、実際は日本ばかりではなく、中世ヨーロッパでも計算は引き算の繰り返しで計算していたばかりか、現在でも計算機で計算する方法になっていると言う（吉田洋一；零の発見、岩波新書、３４－４３）。
計算機は、上記のように 割り算を引き算の繰り返しで、計算して、何回引けるかで商を計算すると言う。 計算機には、予想や感情、勘が働かないから、機械的に行う必要があり、このような手順、アルゴリズムが必要であると考えられる。 これは計算機の本質的な原理ではないだろうか。
そこで、人間は、ここでどのように行うであろうか。 100/2 の場合は、２掛ける何とかで１００に近いものでと考え 大抵５０は簡単に求まるのでは？ 3/2も ３の半分で１．５くらいは直ぐに出るが、 ２掛ける１で２、 余り１で、 次は１０割る２で 5そこで、１．５と直ぐに求まるのではないだろうか。
人間は筆算で割り算を行うとき、上記で何回引けるかとは 発想せず、何回を掛け算で、感覚的に何倍入っているか、何倍引けるか、と考えるだろう。この人間の発想は教育によるものか、割り算に対して、逆演算の掛け算の学習効果を活かすように 相当にひとりでに学習するのかは極めて面白い点ではないだろうか。この発想には掛け算についての相当な経験と勘を有していなければ、有効ではない。
この簡単な計算の方法の中に、人間の考え方と計算機の扱いの本質的な違いが現れていると考える。 人間の方法には、逆の考え、すなわち積の考えや、勘、経験、感情が働いて、作業を進める点である。 計算機には柔軟な対応はできず、機械的にアルゴリズムを実行する他はない。 しかしながら、 計算機が使われた、あるいは用意された情報などを蓄積して、どんどんその意味における経験を豊かにして、求める作業を効率化しているのは 広く見られる。 その進め方は、対象、問題によっていろいろなアルゴリズムで 具体的には 複雑であるが、しかし、自動的に確定するように、機械的に定まるようになっていると考えられる ― 厳密に言うと そうではない考えもできる、すなわち、ランダムないわゆる 乱数を用いるアルゴリズムなどはそうとは言えない面もある ― グーグル検索など時間と共に変化しているが、自動的に進むシステムが構築されていると考えられる。 それで、蓄積される情報量が人間の器、能力を超えて、計算機は 人間を遥かに超え、凌ぐデータを扱うことが可能である事から、そのような学習能力は、人間のある能力を凌ぐ可能性が高まって来ている。 将棋や碁などで プロの棋士を凌ぐほどになっているのは、良い例ではないだろうか。もちろん、この観点からも、いろいろな状況に対応するアルゴリズムの開発は、計算機の進化において 大きな人類の課題になるだろう。
他方、例えば、幼児の言葉の学習過程は 神秘的とも言えるもので、個々の単語やその意味を1つずつ学習するよりは 全体的に感覚的に自動的にさえ学習しているようで、学習効果が生命の活動のように柔軟に総合的に進むのが 人間の才能の特徴ではないだろうか。
さらに、いくら情報やデータを集めても、 人間が持っている創造性は 計算機には無理のように見える。 創造性や新しい考えは 無意識から突然湧いてくる場合が多く、 創造性は計算機には無理ではないだろうか。 そのことを意識したわけではないが、人間の尊厳さを 創造性に 纏めている：
再生核研究所声明１８１（2014.11.25） 人類の素晴らしさ ― ７つの視点
そこでも触れているが、信仰や芸術、感情などは生命に結び付く高度な存在で、科学も計算機もいまだ立ち入ることができない世界として、生命に対する尊厳さを確認したい。
しかしながら、他方、人間の驚くべき 愚かさにも自戒して置きたい：
発想の転換、考え方の変更が難しいということである。発想の転換が 天動説を地動説に変えるのが難しかった世界史の事件のように、また、非ユークリッド幾何学を受け入れるのが大変だったように、実は極めて難しい状況がある。人間が如何に予断と偏見に満ち、思い込んだら変えられない性（さが） が深いことを 絶えず心しておく必要がある： 例えば、ゼロ除算は 千年以上も、不可能であるという烙印のもとで、世界史上でも人類は囚われていたことを述べていると考えられる。世界史の盲点であったと言えるのではないだろうか。 ある時代からの 未来人は 人類が 愚かな争いを続けていた事と同じように、人類の愚かさの象徴 と記録するだろう。 数学では、加、減、そして、積は 何時でも自由にできた、しかしながら、ゼロで割れないという、例外が除法には存在したが、ゼロ除算の簡潔な導入によって、例外なく除算もできるという、例外のない美しい世界が実現できた（再生核研究所声明１８０（2014.11.24） 人類の愚かさ― ７つの視点）。そこで、この弱点を克服する心得を次のように纏めている：
再生核研究所声明191（2014.12.26） 公理系、基本と人間
以 上
ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、０ですから、簡単で美しいです。 1+1=２は 変なのが出てくるので難しいですね。
1人当たり何個になるかと説いていますが、1人もいないのですから、その問題は意味をなさない。
よってこれは、はじめから問題になりません。
ついでですが、これには数学的に確定した解があって それは0であるという事が、最近発見されました。
再生核研究所声明１９９（2015.1.15） 世界の数学界のおかしな間違い、世界の初等教育から学術書まで間違っていると言える ― ゼロ除算100/0=0,0/0=0
ゼロ除算は 西暦６２８年インドでゼロが文献に記録されて以来、問題とされてきた。ゼロ除算とは、ゼロで割ることを考えることである。これは数学の基本である、四則演算、加法、減法、乗法、除法において、除法以外は何時でも自由にできるのに、除法の場合だけ、ゼロで割ることができないという理由で、さらに物理法則を表す多くの公式にゼロ除算が自然に現れていることもあって、世界各地で、今でも絶えず、問題にされていると考えられる。― 小学生でも どうしてゼロで割れないのかと毎年、いろいろな教室で問われ続いているのではないだろうか.
これについては、近代数学が確立された以後でも、何百年を越えて 永い間の定説として、ゼロ除算は 不可能であり、ゼロで割ってはいけないことは、初等教育から、中等、高校、大学そして学術界、すなわち、世界の全ての文献と理解はそうなっている。変えることのできない不変的な法則のように理解されていると考えられる。
しかるに２０１４年２月２日 ゼロ除算は、可能であり、ゼロで割ればゼロであることが、偶然発見された。その後の経過、背景や意味付け等を纏めてきた：
再生核研究所声明 148（2014.2.12） 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明157（2014.5.8） 知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
再生核研究所声明161（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
再生核研究所声明163（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－ 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案
再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
再生核研究所声明171（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である？
再生核研究所声明176（2014.8.9） ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する
Announcement 179 (2014.8.25): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
Announcement 185 : The importance of the division by zero $z/0=0$
再生核研究所声明188（2014.12.1５）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界
再生核研究所声明190（2014.12.24）
再生核研究所からの贈り物 ― ゼロ除算100/0=0, 0/0=0
夜明け、新世界、再生核研究所 年頭声明
― 再生核研究所声明193（2015.1.1）―
再生核研究所声明194（2015.1.2）大きなイプシロン（無限小）、創造性の不思議
再生核研究所声明195（2015.1.3）ゼロ除算に於ける高橋の一意性定理について
再生核研究所声明196（2015.1.4）ゼロ除算に於ける山根の解釈100= 0ｘ0について
ところが、気づいてみると、ゼロ除算は当たり前なのに、数学者たちが勝手に、割り算は掛け算の逆と思い込み、ゼロ除算は不可能であると 絶対的な真理であるかのように 烙印を押して、世界の人々も盲信してきた。それで、物理学者が そのために基本的な公式における曖昧さに困ってきた事情は ニュートンの万有引力の法則にさえ見られる。
さらに、誠に奇妙なことには、除算はその言葉が表すように、掛算とは無関係に考えられ、日本ばかりではなく西欧でも中世から除算は引き算の繰り返しで計算されてきた、古い、永い伝統がある。その考え方から、ゼロ除算は自明であると道脇裕氏と道脇愛羽さん６歳が（四則演算を学習して間もないときに）理解を示した ― ゼロ除算は除算の固有の意味から自明であり、ゼロで割ればゼロであるは数学的な真実であると言える（声明１９４）。数学、物理、文化への影響も甚大であると考えられる。
数学者は 数学の自由な精神で 好きなことで、考えられることは何でも考え、不可能を可能にし、分からないことを究め、真智を求めるのが 数学者の精神である。非ユークリッド幾何学の出現で 絶対は変わり得ることを学び、いろいろな考え方があることを学んできたはずである。そのような観点から ゼロ除算の解明の遅れは 奇妙な歴史的な事件である と言えるのではないだろうか。
これは、数学を超えた、真実であり、ゼロ除算は不可能であるとの 世の理解は間違っている と言える。そこで、真実を世界に広めて、人類の歴史を進化させるべきであると考える。特に声明１７６と声明１８５を参照。ゼロ除算は 堪らなく楽しい 新世界 を拓いていると考える。
以 上
1+0=1 1ｰ0=0 1×0=0 では、1/0・・・・・・・・・幾つでしょうか。
0??? 本当に大丈夫ですか・・・・・0×0=1で矛盾になりませんか・・・・
１/０＝∞ （これは、今の複素解析学） １/０=０ （これは、新しい数学で、Division by Zero）
ゼロ除算は、不可能であると誰が最初に言ったのでしょうか・・・・
7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を 多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。
割り算を掛け算の逆だと定義した人は、誰でしょう？？？
世界中で、ゼロ除算は 不可能 か
可能とすれば ∞ だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。
小学校以上で、最も知られている数学の結果は何でしょうか・・・
ゼロ除算（1/0=0）は、ピタゴラスの定理（a2 + b2 = c2 ）を超えた基本的な結果であると考えられる。
https://www.pinterest.com/pin/234468724326618408/
原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・
無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・
加（+）・減（-）・乗（×）・除（÷） 除法（じょほう、英: division）とは、乗法の逆演算・・・・間違いの元 乗（×）は、加（+） 除（÷）は、減（-）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849/a37209195?sort=1&fr=chie_my_notice_canso
0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。
アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf
明治5年（1872）
割り算のできる人には、どんなことも難しくない
世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。
ベーダ・ヴェネラビリス
数学名言集：ヴィルチェンコ編：松野武 山崎昇 訳大竹出版1989年
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
1/0=∞ 若しくは未定義 →1/0=0
地球人はどうして、ゼロ除算1300年以上もできなかったのか？ ２０１５．７．２４．９：１０ 意外に地球人は知能が低いのでは？ 仲間争いや、公害で自滅するかも。 生態系では、人類が がん細胞であった とならないとも 限らないのでは？
リーマン球面における無限遠点は、実は、原点０に一致していました。
Einstein's Only Mistake: Division by Zero
http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html
ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・ 1+1=2が当たり前のように
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and ...
gsjournal.net/Science-Journals/.../Download/2084
このページを訳す
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and Newton's Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com. Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India.
http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
Reality of the Division by Zero $z/0=0$
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
ビッグバン宇宙論と定常宇宙論について、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1243254887 #知恵袋_
地球平面説→地球球体説
地球が丸いと考えた最初の人－ピタゴラス
地球を球形であることを事実によって証明しようとした人－マゼラン
地球を球形と仮定して初めて地球の大きさを測定した人－エラトステネス
天動説→地動説 アリスタルコス＝ずっとアリストテレスやプトレマイオスの説が支配的だったが、約2,000年後にコペルニクスが再び太陽中心説（地動説）を唱え、発展することとなった。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%82%B9 …
何年かかったでしょうか????
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか????
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
何年かかったでしょうか???
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか???
ゼロ除算の証明・図｜ysaitoh｜note（ノート） https://note.mu/ysaitoh/n/n2e5fef564997
ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、０ですから、簡単で美しいです。 1+1=２は 変なのが出てくるので難しいですね。
∞÷0はいくつですか・・・・・・・
∞とはなんですか・・・・・・・・
分からないものは考えられません・・・・・
Reality of the Division by Zero z/0 = 0
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://okmr.yamatoblog.net/
1人当たり何個になるかと説いていますが、1人もいないのですから、その問題は意味をなさない。
よってこれは、はじめから問題になりません。
ついでですが、これには数学的に確定した解があって それは0であるという事が、最近発見されました。
Theorie Axiom Mathematik
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Das Permanenzprinzip ist ein Begriff aus der Didaktik der Zahlbereichserweiterungen. Es besagt, dass beim Aufbau einer komplexen mathematischen Theorie die mathematischen Strukturen der zugrundeliegenden Theorie so weit wie möglich erhalten bleiben sollen.
Dieses Arbeitsprinzip wurde von Hermann Hankel 1867 für den axiomatischen Aufbau mathematischer Theorien aufgestellt. Das Permanenzprinzip ist eine Ausfaltung des wissenschaftlichen Sparsamkeitsprinzips, das auch unter dem Namen „Ockhams Rasiermesser“ bekannt ist und auf die Formel „einfach ist am besten“ gebracht werden kann.[1]
Anwendung bei der axiomatischen Definition des Zahlensystems
Äquivalenzklassen: Gleichfarbige Felder
gehören zur gleichen Äquivalenzklasse
Typisches Beispiel für die Anwendung des Permanenzprinzips ist die axiomatische Definition des Zahlensystems. Dabei geht man von einem einfachen Zahlenraum – z. B. den natürlichen Zahlen \mathbb{N} – aus und konstruiert auf dieser Grundlage einen komplexeren Zahlenraum. Die Motivation für den Aufbau einer komplexeren Theorie ist dabei der Versuch, dass alle Rechenregeln möglichst universell gelten sollen.
So werden die ganzen Zahlen \mathbb{Z} als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen definiert, und man kann die bisherigen natürlichen Zahlen in kanonischer Weise in die ganzen Zahlen einbetten:
0 \implies \lbrace (a,b)\mid b = a \rbrace
1 \implies \lbrace (a,b)\mid b = a + 1\rbrace
2 \implies \lbrace (a,b)\mid b = a + 2\rbrace und so fort (dabei sind a, b natürliche Zahlen)
Diese Einbettung soll nach dem Permanenzprinzip mit den Rechenoperationen verträglich sein.
Beispiel
Mit G(n) sei die zu einer natürlichen Zahl gehörige ganze Zahl bezeichnet. „+“ bezeichne die Addition in den natürlichen Zahlen, „\oplus“ bezeichne die Addition in den ganzen Zahlen. Dann fordert das Permanenzprinzip:
G(n+m) = G(n)\oplus G(m)
Die negativen Zahlen sind dann genau die Äquivalenzklassen, in denen a > b ist:
-1 \implies \lbrace (a,b)\mid a = b + 1\rbrace
-2 \implies \lbrace (a,b)\mid a = b + 2\rbrace und so fort.
In der nebenstehenden Grafik sind die Äquivalenzklassen als gleichfarbige Felder erkennbar.
Die Schreibweise „－1“ ist also nichts anderes als eine Abkürzung für eine Äquivalenzklasse, bei der a = b + 1 ist.
Auf diesen Äquivalenzklassen müssen nun die aus den natürlichen Zahlen bekannten Rechenregeln definiert werden. Dafür gibt es im Prinzip viele Möglichkeiten.
Das Permanenzprinzip fordert nun, die Regeln so zu definieren, dass die Gesetze, die in der Basistheorie gelten, also z. B. Kommutativ- und Assoziativgesetz sowie die Ordnungsrelationen – auch in der neu konstruierten Theorie gelten sollen.
Man kann zeigen, dass es dann im Wesentlichen genau eine Möglichkeit gibt, die Rechenregeln in dieser Weise zu definieren (die „neue“ Addition ist mit \oplus bezeichnet, um sie von der „alten“ Addition innerhalb der natürlichen Zahlen zu unterscheiden):
\lbrace (a,b)\mid b = a + x\rbrace \oplus \lbrace (c,d)\mid c = d + y\rbrace := \lbrace (e,f)\mid e = f + (x+y)\rbrace
Auf der nächsten Stufe – Konstruktion der rationalen Zahlen \mathbb{Q} – wird dieses Prinzip wieder angewandt. Rationale Zahlen werden zunächst wieder als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen definiert. Die Rechenregeln werden nach dem Permanenzprinzip wieder so definiert, dass alle Gesetze und Regeln in den ganzen Zahlen auch für die rationalen Zahlen gelten.
So ist die Addition und die Multiplikation in den natürlichen Zahlen unbeschränkt ausführbar, die Subtraktion hingegen nur, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend. Die Division ist nur ausführbar, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist.
Durch die Einführung der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen werden nun die vier Grundrechenarten universell ausführbar (abgesehen von der Division durch Null); die Potenzierung hingegen ist wiederum nur eingeschränkt möglich: a1/2 ist nur ausführbar, wenn die Basis a eine Quadratzahl ist usw.
Mit der Einführung der reellen Zahlen \mathbb{R}wird auch die Potenzierung bei positiver Basis universell ausführbar; bei negativer Basis wiederum nur eingeschränkt.
Diese letzte Einschränkung wird schließlich durch die Einführung der komplexen Zahlen \mathbb{C} beseitigt. Man verliert dabei jedoch die Ordnungsrelation: Die komplexen Zahlen lassen sich nicht anordnen. Das Permanenzprinzip kann hier also nicht in vollem Umfang umgesetzt werden.
Anwendung bei der Division durch Null
Division durch Null:
Fiktion oder Realität?
Division durch Null:
Fiktion oder Realität?
Es sieht nun zunächst so aus, als ob nur noch die Division durch Null „nicht möglich“ oder „verboten“ wäre. Daraus ergeben sich zwei mögliche Fragestellungen:
Ist die Null überhaupt eine Zahl, oder lässt sich der axiomatische Aufbau nicht auch ohne die Null bewerkstelligen?
Kann man den Zahlenraum sinnvoll erweitern, sodass schließlich auch die Division durch Null möglich ist?
Nachdem es „die Mathematik“ als unveränderliche Größe nicht gibt, sondern nur verschiedene mathematische Theorien, ist auch der Begriff der „Zahl“ in der Mathematik offen und erweiterbar. So kann man z. B. auf dem Raum der stetigen Funktionen von [0,1] \to [0,1] Rechenregeln definieren und sogar eine Ordnungsrelation. Diese Funktionen sind also auch so etwas Ähnliches wie „Zahlen“. Umgekehrt kann man vorhandene Theorien auch einschränken und untersuchen, welche Gesetze in der eingeschränkten Theorie noch gelten. Ein Beispiel hierfür ist die intuitionistische Mathematik, die nicht nur eine Zahl, sondern ein logisches Gesetz ausschließt, das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten. Derartige Untersuchungen können äußerst fruchtbar sein und tiefe Einblicke in die Natur der zugrundegelegten Axiome geben.
Zahlensysteme ohne „Null“
Es ist nur die Frage, welche Formulierung die Rechenregeln und -gesetze in dieser neuen Theorie annehmen.
Als Beispiel für ein Zahlensystem ohne 0 können von den natürlichen Zahlen ohne 0 ausgehend die ganzen Zahlen definiert werden. Im Bereich der natürlichen Zahlen ohne 0 lassen sich Addition und Multiplikation ohne weiteres definieren. Es ergeben sich die gleichen Regeln wie bei den natürlichen Zahlen mit 0.
Wie dort ist die Subtraktion jedoch nur eingeschränkt durchführbar. Man kann nun wie bisher die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen definieren. Eine Äquivalenzklasse muss nun gesondert behandeln werden: nämlich die Klasse
\lbrace (a,b)\mid a = b\rbrace
Diese Klasse ist wohldefiniert, erhält in der neuen Theorie aber einen Sonderstatus. Denn die bisherige Vereinbarung, diese Klasse mit der „Null“ zu identifizieren, soll ja vermieden werden. Es ergibt sich die gleiche Menge von Äquivalenzklassen wie beim bisherigen Ansatz, wobei die Äquivalenzklasse
\lbrace (a,b)\mid a = b\rbrace
ausgeschlossen wird. Man kann zeigen, dass alle Gesetze erhalten bleiben, es kommt jedoch stets eine Sonderregelung für die Klasse
\lbrace (a,b)\mid a = b\rbrace
hinzu.
Man gewinnt also nichts, es geht jedoch die Einfachheit verloren, alles wird nur komplizierter. Daher ist es schon aus Gründen der Praktikabilität geboten, die Klasse
\lbrace (a,b)\mid a = b\rbrace
mit hinzuzunehmen, vor allem weil es keinen intuitiven Grund gibt, diese Klasse auszuschließen und mit dem Namen „Null“ zu bezeichnen. Jede andere Bezeichnung wäre auch möglich (z. B. neutrales Element) und wird in entsprechenden Kontexten auch verwendet (z. B. in der Gruppentheorie). Im Allgemeinen ist aber die Bezeichnung „Null“ naheliegend und entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.
Zahlensysteme, in denen die Division durch Null definiert ist
Einen Grund, diese „Zahl“ gesondert zu behandeln, scheint es jedoch zu geben, nämlich die Division durch Null. Nachdem der Zahlenraum schon mehrfach erweitert werden konnte, um Rechenoperationen auf dem gesamten Zahlenraum durchführen zu können, stellt sich also die zweite Frage: Kann man den Zahlenraum (sinnvoll) so erweitern, dass eine Division durch Null möglich wird?
Auch diese Frage kann man zunächst einmal bejahen. Man muss „nur“ das Ergebnis der Division durch Null definieren. Die Definition muss jedoch zwei Anforderungen erfüllen, um brauchbar zu sein:
Die bisherigen Rechenregeln sollen möglichst ausnahmslos weitergelten (Permanenzprinzip).
Das Ergebnis einer Division durch Null muss wohldefiniert sein, d. h. eindeutig bestimmt sein.
Im Folgenden wird gezeigt, dass eine Definition, die beide Anforderungen voll erfüllt, nicht möglich ist. Es gibt jedoch eine Definition, die wenigstens einen Teil der Anforderungen erfüllt und daher auch von praktischer Bedeutung ist.
Beim Versuch, die Division durch Null zu definieren, ergibt sich im einfachsten Fall nach dem Permanenzprinzip:
{0 \over 0} = 1 (Forderung 1, denn für a≠0 gilt {a \over a} = 1).
Jedoch andererseits:
{0 \over 0} = {0 \cdot 0 \over 0} = 0 \cdot {0 \over 0} = 0 denn für a≠0 gilt 0 \cdot a = 0.
Bei konsequenter Anwendung des Permanenzprinzips ergibt sich also ein Verstoß gegen die Wohldefiniertheit. Umgekehrt führt jede „eindeutige“ Definition z. B. der Division 0/0 automatisch zu einem Verstoß gegen das Permanenzprinzip.
Da ein Verstoß gegen die Wohldefiniertheit schwerer wiegt als ein Verstoß gegen das Permanenzprinzip, trifft man üblicherweise eine Festlegung der folgenden Art. Dazu erweitert man den Zahlenraum um eine weitere Zahl, die man Θ nennen könnte, und die als das Ergebnis jeglicher Division durch 0 festgelegt wird:
Definition Θ: Θ := a / 0 für alle a∈R.
Folgende Rechenoperationen werden definiert:
Θ 1: a + Θ := Θ und Θ + a = Θ
Θ 2: a － Θ := Θ und Θ － a = Θ
Θ 3: a * Θ := Θ und Θ * a = Θ
Θ 4: a / Θ := Θ und Θ / a = Θ
Θ 5: a ^ Θ := Θ und Θ ^ a = Θ
jeweils für a ∈ R ∪ {Θ}. Das Ergebnis jedes Ausdrucks, in dem irgendwo Θ vorkommt, wird als Θ festgelegt.
Mit diesen Definitionen gelten nun viele bisherige Rechenregeln weiter, wie z. B. a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c, a * (b + c) = a * b + a * c.
Hingegen
a / a = 1 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: Θ / Θ = Θ
a － a = 0 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: Θ － Θ = Θ
0 * a = 0 gilt nicht mehr, wenn a = Θ: 0 * Θ = Θ
Auch die Ordnungsrelation kann man definieren. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten: entweder Θ ist größer als alle übrigen Zahlen oder Θ ist kleiner als alle anderen Zahlen. Jedoch ist diese Ordnungsrelation mit den oben genannten Rechenregeln nicht mehr verträglich.
Da einige grundlegende Rechenregeln durch die Einführung des Θ nicht mehr gelten, handelt es sich also nicht um eine Erweiterung des Zahlenraumes im Sinne des Permanenzprinzips.
Das Zahlensystem lässt sich zwar erweitern, sodass das Ergebnis der Division durch Null definiert ist. Jedoch hat diese Erweiterung einige Nachteile:
Die Erweiterung ist nicht in eindeutiger Weise möglich. Es gibt verschiedene, untereinander gleichberechtigte Möglichkeiten.
Die Erweiterung führt nicht zu einer Vereinfachung der Regeln – wie bei der Erweiterung der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen hin – sondern zu einer größeren Komplexität.
Die Erweiterung ist nicht verträglich mit dem Permanenzprinzip.
Probleme
Vor allem, weil im Bereich der Ordnungsrelation keine eindeutige Definition möglich ist, hat man sich daher in der mathematischen Welt entschieden, diese Frage einfach offenzulassen: Die Division durch Null ist nicht definiert. Dadurch haben sich dann in der Alltagsmathematik unglückliche Formulierungen wie „die Division durch Null ist nicht möglich“ oder „die Division durch Null ist verboten“ eingebürgert. Richtig ist, dass es einfach keine naheliegende, eindeutige Erweiterung gibt (vor allem im Bereich der Ordnungsrelation) und daher eine Festlegung nicht getroffen wird. Im Bereich der Programmierung ist es jedoch üblich geworden, die Regeln Θ 1 bis Θ 4 zu implementieren, z. B. in Excel, das statt Θ die Notation #DIV0! verwendet.
Zusammenfassung
Im axiomatischen Aufbau des Zahlensystems führt das Permanenzprinzip zu einfachen und eindeutigen Formulierungen und erleichtert insbesondere Lernenden den Einstieg in komplexe mathematische Strukturen. Jedoch sind nicht ausnahmslos intuitive Festlegungen möglich, zum Beispiel bei der Division durch Null. Hier gibt es keine widerspruchsfreien Erweiterungen.
Ein Verzicht auf die „Zahl“ 0 ist ebenfalls möglich, führt aber zu einer unnötigen und deutlich höheren Komplexität bei der Formulierung der mathematischen Gesetze.
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie
http://www.wikiwand.com/de/Permanenzprinzip
再生核研究所声明１９８（2015.1.14） 計算機と人間の違い、そしてそれらの愚かさについて
まず、簡単な例として、割り算、除算の考えを振り返ろう：
声明は一般向きであるから、本質を分かり易く説明しよう。 そのため、ゼロ以上の数の世界で考え、まず、100/2を次のように考えよう：
100-2-2-2-,...,-2.
ここで、2 を何回引けるか（除けるか）と考え、いまは 50 回引いてゼロになるから分数の商は50である。
次に 3/2 を考えよう。まず、
3 - 2 = 1
で、余り1である。そこで、余り1を10倍して、 同様に
10-2-2-2-2-2=0
であるから、10/2=５ となり
3/2 =１＋０．５＝ １．５
とする。３を２つに分ければ、１．５である。
これは筆算で割り算を行うことを 減法の繰り返しで考える方法を示している。
ところで、 除算を引き算の繰り返しで計算する方法は、除算の有効な計算法がなかったので、実際は日本ばかりではなく、中世ヨーロッパでも計算は引き算の繰り返しで計算していたばかりか、現在でも計算機で計算する方法になっていると言う（吉田洋一；零の発見、岩波新書、３４－４３）。
計算機は、上記のように 割り算を引き算の繰り返しで、計算して、何回引けるかで商を計算すると言う。 計算機には、予想や感情、勘が働かないから、機械的に行う必要があり、このような手順、アルゴリズムが必要であると考えられる。 これは計算機の本質的な原理ではないだろうか。
そこで、人間は、ここでどのように行うであろうか。 100/2 の場合は、２掛ける何とかで１００に近いものでと考え 大抵５０は簡単に求まるのでは？ 3/2も ３の半分で１．５くらいは直ぐに出るが、 ２掛ける１で２、 余り１で、 次は１０割る２で 5そこで、１．５と直ぐに求まるのではないだろうか。
人間は筆算で割り算を行うとき、上記で何回引けるかとは 発想せず、何回を掛け算で、感覚的に何倍入っているか、何倍引けるか、と考えるだろう。この人間の発想は教育によるものか、割り算に対して、逆演算の掛け算の学習効果を活かすように 相当にひとりでに学習するのかは極めて面白い点ではないだろうか。この発想には掛け算についての相当な経験と勘を有していなければ、有効ではない。
この簡単な計算の方法の中に、人間の考え方と計算機の扱いの本質的な違いが現れていると考える。 人間の方法には、逆の考え、すなわち積の考えや、勘、経験、感情が働いて、作業を進める点である。 計算機には柔軟な対応はできず、機械的にアルゴリズムを実行する他はない。 しかしながら、 計算機が使われた、あるいは用意された情報などを蓄積して、どんどんその意味における経験を豊かにして、求める作業を効率化しているのは 広く見られる。 その進め方は、対象、問題によっていろいろなアルゴリズムで 具体的には 複雑であるが、しかし、自動的に確定するように、機械的に定まるようになっていると考えられる ― 厳密に言うと そうではない考えもできる、すなわち、ランダムないわゆる 乱数を用いるアルゴリズムなどはそうとは言えない面もある ― グーグル検索など時間と共に変化しているが、自動的に進むシステムが構築されていると考えられる。 それで、蓄積される情報量が人間の器、能力を超えて、計算機は 人間を遥かに超え、凌ぐデータを扱うことが可能である事から、そのような学習能力は、人間のある能力を凌ぐ可能性が高まって来ている。 将棋や碁などで プロの棋士を凌ぐほどになっているのは、良い例ではないだろうか。もちろん、この観点からも、いろいろな状況に対応するアルゴリズムの開発は、計算機の進化において 大きな人類の課題になるだろう。
他方、例えば、幼児の言葉の学習過程は 神秘的とも言えるもので、個々の単語やその意味を1つずつ学習するよりは 全体的に感覚的に自動的にさえ学習しているようで、学習効果が生命の活動のように柔軟に総合的に進むのが 人間の才能の特徴ではないだろうか。
さらに、いくら情報やデータを集めても、 人間が持っている創造性は 計算機には無理のように見える。 創造性や新しい考えは 無意識から突然湧いてくる場合が多く、 創造性は計算機には無理ではないだろうか。 そのことを意識したわけではないが、人間の尊厳さを 創造性に 纏めている：
再生核研究所声明１８１（2014.11.25） 人類の素晴らしさ ― ７つの視点
そこでも触れているが、信仰や芸術、感情などは生命に結び付く高度な存在で、科学も計算機もいまだ立ち入ることができない世界として、生命に対する尊厳さを確認したい。
しかしながら、他方、人間の驚くべき 愚かさにも自戒して置きたい：
発想の転換、考え方の変更が難しいということである。発想の転換が 天動説を地動説に変えるのが難しかった世界史の事件のように、また、非ユークリッド幾何学を受け入れるのが大変だったように、実は極めて難しい状況がある。人間が如何に予断と偏見に満ち、思い込んだら変えられない性（さが） が深いことを 絶えず心しておく必要がある： 例えば、ゼロ除算は 千年以上も、不可能であるという烙印のもとで、世界史上でも人類は囚われていたことを述べていると考えられる。世界史の盲点であったと言えるのではないだろうか。 ある時代からの 未来人は 人類が 愚かな争いを続けていた事と同じように、人類の愚かさの象徴 と記録するだろう。 数学では、加、減、そして、積は 何時でも自由にできた、しかしながら、ゼロで割れないという、例外が除法には存在したが、ゼロ除算の簡潔な導入によって、例外なく除算もできるという、例外のない美しい世界が実現できた（再生核研究所声明１８０（2014.11.24） 人類の愚かさ― ７つの視点）。そこで、この弱点を克服する心得を次のように纏めている：
再生核研究所声明191（2014.12.26） 公理系、基本と人間
以 上
ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、０ですから、簡単で美しいです。 1+1=２は 変なのが出てくるので難しいですね。
1人当たり何個になるかと説いていますが、1人もいないのですから、その問題は意味をなさない。
よってこれは、はじめから問題になりません。
ついでですが、これには数学的に確定した解があって それは0であるという事が、最近発見されました。
再生核研究所声明１９９（2015.1.15） 世界の数学界のおかしな間違い、世界の初等教育から学術書まで間違っていると言える ― ゼロ除算100/0=0,0/0=0
ゼロ除算は 西暦６２８年インドでゼロが文献に記録されて以来、問題とされてきた。ゼロ除算とは、ゼロで割ることを考えることである。これは数学の基本である、四則演算、加法、減法、乗法、除法において、除法以外は何時でも自由にできるのに、除法の場合だけ、ゼロで割ることができないという理由で、さらに物理法則を表す多くの公式にゼロ除算が自然に現れていることもあって、世界各地で、今でも絶えず、問題にされていると考えられる。― 小学生でも どうしてゼロで割れないのかと毎年、いろいろな教室で問われ続いているのではないだろうか.
これについては、近代数学が確立された以後でも、何百年を越えて 永い間の定説として、ゼロ除算は 不可能であり、ゼロで割ってはいけないことは、初等教育から、中等、高校、大学そして学術界、すなわち、世界の全ての文献と理解はそうなっている。変えることのできない不変的な法則のように理解されていると考えられる。
しかるに２０１４年２月２日 ゼロ除算は、可能であり、ゼロで割ればゼロであることが、偶然発見された。その後の経過、背景や意味付け等を纏めてきた：
再生核研究所声明 148（2014.2.12） 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明157（2014.5.8） 知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
再生核研究所声明161（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
再生核研究所声明163（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－ 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案
再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
再生核研究所声明171（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である？
再生核研究所声明176（2014.8.9） ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する
Announcement 179 (2014.8.25): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
Announcement 185 : The importance of the division by zero $z/0=0$
再生核研究所声明188（2014.12.1５）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界
再生核研究所声明190（2014.12.24）
再生核研究所からの贈り物 ― ゼロ除算100/0=0, 0/0=0
夜明け、新世界、再生核研究所 年頭声明
― 再生核研究所声明193（2015.1.1）―
再生核研究所声明194（2015.1.2）大きなイプシロン（無限小）、創造性の不思議
再生核研究所声明195（2015.1.3）ゼロ除算に於ける高橋の一意性定理について
再生核研究所声明196（2015.1.4）ゼロ除算に於ける山根の解釈100= 0ｘ0について
ところが、気づいてみると、ゼロ除算は当たり前なのに、数学者たちが勝手に、割り算は掛け算の逆と思い込み、ゼロ除算は不可能であると 絶対的な真理であるかのように 烙印を押して、世界の人々も盲信してきた。それで、物理学者が そのために基本的な公式における曖昧さに困ってきた事情は ニュートンの万有引力の法則にさえ見られる。
さらに、誠に奇妙なことには、除算はその言葉が表すように、掛算とは無関係に考えられ、日本ばかりではなく西欧でも中世から除算は引き算の繰り返しで計算されてきた、古い、永い伝統がある。その考え方から、ゼロ除算は自明であると道脇裕氏と道脇愛羽さん６歳が（四則演算を学習して間もないときに）理解を示した ― ゼロ除算は除算の固有の意味から自明であり、ゼロで割ればゼロであるは数学的な真実であると言える（声明１９４）。数学、物理、文化への影響も甚大であると考えられる。
数学者は 数学の自由な精神で 好きなことで、考えられることは何でも考え、不可能を可能にし、分からないことを究め、真智を求めるのが 数学者の精神である。非ユークリッド幾何学の出現で 絶対は変わり得ることを学び、いろいろな考え方があることを学んできたはずである。そのような観点から ゼロ除算の解明の遅れは 奇妙な歴史的な事件である と言えるのではないだろうか。
これは、数学を超えた、真実であり、ゼロ除算は不可能であるとの 世の理解は間違っている と言える。そこで、真実を世界に広めて、人類の歴史を進化させるべきであると考える。特に声明１７６と声明１８５を参照。ゼロ除算は 堪らなく楽しい 新世界 を拓いていると考える。
以 上
1+0=1 1ｰ0=0 1×0=0 では、1/0・・・・・・・・・幾つでしょうか。
0??? 本当に大丈夫ですか・・・・・0×0=1で矛盾になりませんか・・・・
１/０＝∞ （これは、今の複素解析学） １/０=０ （これは、新しい数学で、Division by Zero）
ゼロ除算は、不可能であると誰が最初に言ったのでしょうか・・・・
7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を 多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。
割り算を掛け算の逆だと定義した人は、誰でしょう？？？
世界中で、ゼロ除算は 不可能 か
可能とすれば ∞ だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。
小学校以上で、最も知られている数学の結果は何でしょうか・・・
ゼロ除算（1/0=0）は、ピタゴラスの定理（a2 + b2 = c2 ）を超えた基本的な結果であると考えられる。
https://www.pinterest.com/pin/234468724326618408/
原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・
無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・
加（+）・減（-）・乗（×）・除（÷） 除法（じょほう、英: division）とは、乗法の逆演算・・・・間違いの元 乗（×）は、加（+） 除（÷）は、減（-）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849/a37209195?sort=1&fr=chie_my_notice_canso
0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。
アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf
明治5年（1872）
割り算のできる人には、どんなことも難しくない
世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。
ベーダ・ヴェネラビリス
数学名言集：ヴィルチェンコ編：松野武 山崎昇 訳大竹出版1989年
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
1/0=∞ 若しくは未定義 →1/0=0
地球人はどうして、ゼロ除算1300年以上もできなかったのか？ ２０１５．７．２４．９：１０ 意外に地球人は知能が低いのでは？ 仲間争いや、公害で自滅するかも。 生態系では、人類が がん細胞であった とならないとも 限らないのでは？
リーマン球面における無限遠点は、実は、原点０に一致していました。
Einstein's Only Mistake: Division by Zero
http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html
ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・ 1+1=2が当たり前のように
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and ...
gsjournal.net/Science-Journals/.../Download/2084
このページを訳す
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and Newton's Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com. Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India.
http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
Reality of the Division by Zero $z/0=0$
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
ビッグバン宇宙論と定常宇宙論について、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1243254887 #知恵袋_
地球平面説→地球球体説
地球が丸いと考えた最初の人－ピタゴラス
地球を球形であることを事実によって証明しようとした人－マゼラン
地球を球形と仮定して初めて地球の大きさを測定した人－エラトステネス
天動説→地動説 アリスタルコス＝ずっとアリストテレスやプトレマイオスの説が支配的だったが、約2,000年後にコペルニクスが再び太陽中心説（地動説）を唱え、発展することとなった。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%82%B9 …
何年かかったでしょうか????
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか????
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
何年かかったでしょうか???
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか???
ゼロ除算の証明・図｜ysaitoh｜note（ノート） https://note.mu/ysaitoh/n/n2e5fef564997
ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、０ですから、簡単で美しいです。 1+1=２は 変なのが出てくるので難しいですね。
∞÷0はいくつですか・・・・・・・
∞とはなんですか・・・・・・・・
分からないものは考えられません・・・・・
Reality of the Division by Zero z/0 = 0
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://okmr.yamatoblog.net/
1人当たり何個になるかと説いていますが、1人もいないのですから、その問題は意味をなさない。
よってこれは、はじめから問題になりません。
ついでですが、これには数学的に確定した解があって それは0であるという事が、最近発見されました。
AD
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