Christian FAHSE, Landau Division durch Null

Christian FAHSE, Landau
Division durch Null
In diesem Artikel wird eine Einteilung der (Fehl-)Vorstellungen zur Division
durch Null vorgestellt, die sich aus einer fragebogenbasierten Studie ergeben
hat.
Die deskriptiv angelegte Studie umfasst 311 Schülerinnen und Schüler aus
vier Jahrgangsstufen eines rheinland-pfälzischen Gymnasiums. Von diesen
gehörten 73 der siebten, 86 der neunten, 89 der elften und 63 der dreizehnten
Jahrgangsstufe an. Aus organisatorischen Gründen fand die Befragung
der elften Jahrgangsstufe zu Beginn der Jahrgangsstufe 12 statt. Die Befragten
äußerten sich schriftlich zu
─ „Was ist das Ergebnis der Aufgabe 7:0?“
─ „Begründe Deine Meinung so, dass jemand, der die Antwort nicht
kennt, es versteht.“
Darüber hinaus wurde u. a. gefragt, woher das Ergebnis bekannt war. Neben
einer Sichtung der Vorstellungen zur Null und zur Division in diesem
Kontext interessierte zunächst, wie viele Befragte im Verlauf der Schulzeit
eine richtige Antwort nennen. Da die Studie noch nicht abgeschlossen ist,
sind alle Befunde als vorläufig zu betrachten.
Ergebnisse der Befragung
Das Untersuchungsdesign hat quasi-längsschnittlichen Charakter: Unter der
Annahme, dass sich die Jahrgangsstufen in ihrer Entwicklung nicht wesentlich
unterscheiden, gewinnt man einen Eindruck, wie sich die Schülervorstellungen
mit der Zeit verändern. Der rein deskriptive Befund hat dabei
bereits eine hohe Praxisrelevanz, da die Division durch Null in so gut wie
jedem Gymnasialjahr angesprochen wird. Während am Ende der Grundschule
fast niemand die
richtige Antwort nennt,
wie eine Studie von Ruwisch
(2008) zeigt, sind
es in der siebten Jahrgangsstufe
etwa ein
Viertel, in der neunten
die Hälfte und selbst im
Abschlussjahrgang nur
drei Viertel.
Das Thema Division durch Null findet sich weder im gültigen Lehrplan
noch in den Bildungsstandards für die Grundschule. Bei Sichtung eines
Querschnittes an aktuellen Grundschullehrwerken fanden sich nur bei einem
ein Merksatz und wenige Übungen zur Division durch Null. Es ist
deshalb plausibel, dass das Thema in der Grundschule meist nur nebenbei
oder gar nicht behandelt wird. Daher erstaunt die fehlende Kenntnis am
Ende der vierten Klasse nicht.
Im Gegensatz dazu wirft die weitere Entwicklung Fragen auf: Ab der fünften
Jahrgangsstufe wurde das Thema nachweislich in den untersuchten
Klassen behandelt und dennoch setzt sich die richtige Antwort nur langsam
durch. Die Behandlung im Unterricht hat offensichtlich keine einschneidende
Wirkung, die sich im Graphen in einer deutlichen Stufe mit nachfolgendem
Verbleib auf etwa gleichem Niveau zeigen würde. Hingegen
wächst der Anteil der richtigen Antworten langsam, aber recht stetig. Dieser
graduelle Zuwachs könnte ein Indiz dafür sein, dass das Gelernte in
Konflikt mit aus Schülersicht bewährten Konzepten tritt, von denen sich
die Lernenden nur langsam lösen.
Zu dieser Vermutung könnte auch der Befund passen, dass etwa 40% der
Befragten meinen, das von ihnen genannte Ergebnis aus der Grundschule
zu wissen. Zunächst scheint dieser Befund im Widerspruch zu der oben
ausgeführten geringen oder fehlenden Behandlung des Themas in der Primarstufe
zu stehen. Allerdings ist der Anteil derer, die ein falsches Ergebnis
nennen, bei denen, die sich auf die Grundschule beziehen, signifikant
höher als bei denen, die dies nicht tun (t(71)=3.149, p=.001 in der 7. Jahrgangsstufe,
t(87)=2.020, p=.023 in der 11. Jahrgangsstufe). Folgende Erklärung
bietet sich an: Das Thema wurde tatsächlich nur marginal in der
Grundschule behandelt. Aber insbesondere die falschen Ergebnisse 0 und 7
lassen sich mit konkreten Verteilungsvorstellungen begründen (s. unten),
wodurch möglicherweise die Assoziation der Grundschule nahe gelegt
wird.
Vorstellungen zur Null und zur Division
Was sind typische (Fehl-)Vorstellungen, die man bei Befragten der 7. Klasse
findet und deren Entstehung in die Grundschule zurückreicht? Relevant
sind hier die Vorstellungen zur Null und zur Division. Zunächst wird eine
Dreiteilung der Vorstellungen zur Null in kardinal – operational – codierend
vorgeschlagen, die einerseits die vielfältige Literatur zu dem Thema
(u. a. Hefendehl-Hebeker 1981, 1982; Padberg 2005) zu systematisieren
hilft, also stoffdidaktisch orientiert ist, und andererseits durch die Sichtung
der Schülerantworten angeregt wurde. 
─ Eine kardinale Auffassung liegt vor, wenn bei Null an eine Situation
gedacht wird, in der man grundsätzlich zählen könnte, in welcher die
Zählhandlung aber mangels Objekten nicht startet, z. B. „die Anzahl
der Pralinen in einer leeren Schachtel“.
─ Eine operationale Auffassung betont, dass nichts getan wird. Dies ist
z. B. der Fall, wenn an das Nicht-Hinlegen eines Siebenerpäckchens
in 0·7 oder abstrakter, wenn an die Neutralität der Null bei der Addition
als Verknüpfung gedacht wird.
─ Die codierende Auffassung nimmt die Null als Zeichen für das Fehlen
oder die Sinnlosigkeit eines Ergebnisses. Hier liegt die Betonung
weniger auf dem „Nicht-Handeln“ als auf dem „Es kommt nichts heraus“,
wobei das Wort „nichts“ die Codierung eines fehlgeschlagenen
Prozesses mit 0 nahelegt.
In den Begründungen der Schülerinnen und Schüler fanden sich vor allem
zwei Vorstellungen zur Division: das Verteilen und das Aufteilen/Messen
im Sinne von „die 0 passt unendlich mal in die 7“. Nur wenige Befragte
sahen die Division als Umkehraufgabe zur Multiplikation an, wie es fachlich
in diesem Fall, z. B. als Probe, am ergiebigsten wäre. Die Übergeneralisierung,
dass alle Rechnungen mit 0 auf das Ergebnis 0 führen, überlagerte
bei einigen die Vorstellungen zur Division.
Relative Häufigkeiten dieser
Vorstellungen in der Jahrgangsstufe
7 finden sich in der nebenstehenden
Abbildung, wobei zu
beachten ist, dass die des Verteilens
sich nur auf diejenigen
Befragten bezieht, die einen
konkreten Sachzusammenhang
nannten. Die Häufigkeit der
Verteilungsvorstellung wird
also eher unterschätzt.
Die Vorstellungen zur Division
sind nun mit denen zur Null zusammenzubringen. Dabei ergeben sich typische
Argumentationsmuster, die alle nachgewiesen werden konnten. Wer
im Zusammenhang des Verteilens kardinal „denkt“, stellt fest, dass es keine
Personen gibt, auf die man z. B. 7 Äpfel aufteilt und erachtet die Aufgabe
als unsinnig. Beim „Hineinpassen“ wird man, je nachdem wie man das
Auftreten des unvermeidlichen Restes beurteilt, zu den Ergebnissen „geht
nicht“ oder „unendlich“ kommen. Bei der operationalen Auffassung gibt es
Übergeneralisierung
Verteilen
Messen
Umkehraufgabe
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Vorstellungen zur Division
Anteil in %
zwei interessante Fälle: Liegt das Augenmerk auf dem Verteilenden, der ja
gar nicht verteilt, also 7 Äpfel behalten kann, oder eher auf dem, was verteilt
wird, nämlich nichts? Beide Sichtweisen, vor allem aber die kardinale,
kommen auch in Verbindung mit der codierenden vor: Es wird die Krux
der Aufgabe erkannt und mit dem Ergebnis 0 beschrieben.
Aspekt Null als Zahl Null als Divisor (7:0) Ergebnis
Kardinal Zählvorgang prinzipiell
möglich - keine
Objekte
Verteilen: mangels Personen sinnlos Geht nicht
Messen: die 0 passt unendlich oft in
die 7 und es bleibt noch ein Rest
Unendlich/
geht nicht
operational Handlung prinzipiell
möglich - Anweisung,
nichts zu tun
Teile die 7 nicht, behalte 7
(Perspektive des Verteilenden)
7
Es wird nichts verteilt.
(Perspektive der Empfangenden)
0
Codierend Zeichen für einen
Prozess ohne Ergebnis
Die Division ist nicht ausführbar. 0
Konsequenzen für die Unterrichtspraxis
Mangels natürlicher Sachprobleme, die auf eine Division durch Null führen,
ist eine Behandlung dieses Themas in der Primarstufe nicht zu empfehlen
und auch nicht notwendig. Wichtig ist aber, die Vorstellungen zur Null
und zur Division sorgfältig anzubahnen. Bei der Null sollte man den kardinalen
Aspekt abgrenzend betonen, auch wenn alle drei Auffassungen ihre
Berechtigung haben, da sie im Alltag zu finden sind. Bei der Division ist
eine Verengung der Vorstellungen auf das Verteilen zu vermeiden, indem
man die auch im Hinblick auf Einheiten und Bruchzahlen wichtigen Aspekte
Aufteilen/Messen und Umkehraufgabe gleichberechtigt neben das
Verteilen stellt. In der Sekundarstufe sollte man vorbereitet sein, einer Reihe
von hartnäckigen Fehlvorstellungen zu begegnen. Dies kann man jedoch
auch als Chance nutzen: Das Thema bietet eine hervorragende Gelegenheit
zur Stärkung der Argumentationskompetenz, da durch die Vielfalt der
Schülervorstellungen die Diskussion über dieses scheinbar einfache Thema
von Anfang an kontrovers und damit intensiv verläuft.
Literatur
Hefendehl-Hebeker, L. (1981): Zur Behandlung der Zahl Null im Unterricht, besonders
in der Primarstufe. In: mathematica didactica 4, S. 239-252.
Hefendehl-Hebeker, L. (1982): Die Zahl Null im Bewußtsein von Schülern. Eine Fallstudie.
In: Journal für Mathematik-Didaktik, Jahrgang 2, Heft 1, S. 47-65.
Padberg, F. (2005): Didaktik der Arithmetik. Heidelberg, Spektrum Akad. Verlaghttp://www.mathematik.uni-dortmund.de/ieem/bzmu2012/files/BzMU12_0219_Fahse.pdf

再生核研究所声明295(2016.04.07)　無限の先にあるもの、永遠の先にあるもの ―盲点

セロ除算は新しい空間像をもたらしたので、いろいろな面から論じ、例えば、再生核研究所声明 271(2016.01.04)：　永遠は、無限は確かに見えるが、不思議な現象　の中で、次のように述べた。

直線を　どこまでも　どこまでも行ったら、どうなるだろうか。立体射影の考えで、全直線は　球面上　北極、無限遠点を通る無限遠点を除く円にちょうど写るから、我々は、無限も、永遠も明確に見える、捉えることができると言える。　数学的な解説などは下記を参照：

再生核研究所声明264 (2015.12.23)：永遠とは何か―永遠から
再生核研究所声明257(2015.11.05)：無限大とは何か、無限遠点とは何か―新しい視点
再生核研究所声明232(2015.5.26)：無限大とは何か、無限遠点とは何か―驚嘆すべきゼロ除算の結果
再生核研究所声明262(2015.12.09):：宇宙回帰説―ゼロ除算の拓いた世界観

とにかく、全直線が　まるまる見える、立体射影の考えは、実に楽しく、面白いと言える。この考えは、美しい複素解析学を支える100年以上の伝統を持つ、私たちの空間に対する認識であった。これは永劫回帰の思想を裏付ける世界観を　楽しく表現していると考えて来た。
ところが、２０１４．２．２．に発見されたゼロ除算は、何とその無限遠点が、実は原点に一致しているという、事実を示している。それが、我々の数学であり、我々の世界を表現しているという。数学的にも、物理的にもいろいろ　それらを保証する事実が明らかにされた。これは世界観を変える、世界史的な事件と考えられる：

地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
1/0=∞若しくは未定義　→1/0=0

現在、まるで、宗教論争のような状態と言えるが、問題は、無限の彼方、無限遠点がどうして、突然、原点に戻っているかという、強力な不連続性の現象である。複数のEUの数学者に直接意見を伺ったところ、アリストテレスの世界観、世は連続であるに背馳して、そのような世界観、数学は受け入れられないと　まるで、魔物でも見るかのように表情を歪めたものである。新しい数学は　いろいろ証拠的な現象が沢山発見されたものの、まるで、マインドコントロールにでもかかったかのように　新しい数学を避けているように感じられる。数学的な内容は　せいぜい高校生レベルの内容であるにも関わらず、考え方、予断、思い込み、発想の違いの為に、受けいれられない状況がある。
この声明では　盲点の視点から、強調したい存念を纏めたい。
直線をどこまでも どこまでも行ったら、どうなるだろうか?　関数 y = 1/xで　正方向からx　がゼロに近づいたらどうなるであろうか？　あるいは　同様に上記立体射影で　北極にどんどん近づいたら　どうなるであろうか？　どんどん進んだらどうなるであろうかという問題である。伝統的で自然な考えは　何に近づくかと発想して、近づいた先、具体的には、無限大や北極に（無限遠点）に行くと考えるのは当然ではないだろうか。この発想の基礎には連続性、あるいは極限値の考え方がある。近づいて行った先が、求める対象であると考えてきた。具体的な関数y = 1/x　では　正方向からx　がゼロに近づいたら，限りなく大きくなるので、無限大が　1/0　の自然な値であろうと考えてきた。ところがゼロ除算の数学は、突然ゼロであると言っている。驚嘆すべき現象、事件である。北極に近づいた先が北極（無限遠点）であるから，平面上のあらゆる方向の先は、北極（無限遠点）であろうと発想してきたが、実は突然、原点に飛んでいるということが明らかにされた。無限の先は、実はゼロであったという事実である。我々はどんどん近づく先を考えたが、真の先までは考えず、あくまでも近づく先を考えていたことになる。これは無限の先を見てきた時の，それこそ、盲点そのものであったと言えるのではないだろうか。無限の先は、連続性ではなく、実は強力な不連続性、飛びが生じていたという事実である。これは全く、思いがけない、現象である　と言える。それは、盲点、あるいは落とし穴があったと表現できよう。
従って、無限の彼方に関する我々の世界観は　大きな変更を要求されることになるだろう。

以　上