オイラーの公式
オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、φ は複素数 eiφ の偏角である。
数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）は、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。
e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.
ここで e· は指数関数、i は虚数単位、cos ·, sin · はそれぞれ余弦関数および正弦関数である[注 1]。任意の複素数 θ に対して成り立つ等式であるが、特に θ が実数である場合が重要でありよく使われる。θ が実数のとき、θ は複素数 eiθ がなす複素平面上の偏角（角度 θ の単位はラジアン）に対応する。
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年に
\log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \
を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]。
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。
オイラーの公式は、変数 θ が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 θ に対応する余弦関数 cos と正弦関数 sin に等しいことを表す。このとき、偏角 θ をパラメータとする曲線 eiθ は、複素平面上の単位円をなす。 特に、θ = π のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、
e^{i\pi}=-1
となる。この関係はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる[注 2]。
θ が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。
オイラーの公式は、三角関数 cos θ, sin θ が双曲線関数 cosh(iθ), sinh(iθ)/i に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。
目次 [非表示]
1 指数関数と三角関数
2 証明
2.1 微分による証明
2.2 微分方程式による証明
2.3 2階線型微分方程式による証明
2.4 ロンスキー行列による証明
2.5 ド・モアブルの定理による証明
3 関連項目
4 脚注
4.1 参照
4.2 注釈
5 参考文献
指数関数と三角関数[編集]
実関数として定義される指数関数 ex および三角関数 cos x, sin x を各々マクローリン展開すれば[注 3]
e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x
(1)
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for all } x
(2)
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x
(3)
となる。これらの級数の収束半径が ∞ であることはダランベールの収束判定法によって確認することができる[注 4]。従ってこれらの級数は、x を複素変数と見て全複素平面上広義一様に絶対収束し、これらの級数によって表される関数は整関数である[注 5]。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。
ここで、 ex の x を ix に置き換え、eix の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば
\begin{align}
e^{ix}
&= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^n}{n!} x^{n}\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} +\sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} +i\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\end{align}
が成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば
e^{ix} = \cos x + i\sin x
が得られる。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。 たとえば、三角関数の加法定理は、指数法則 eaeb = ea + b に対応していることが分かる[4][注 6]。
オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、
\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \\
\sin z &= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\end{align}
という表現が得られる。
証明[編集]
この公式には、上記の冪級数展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。
微分による証明[編集]
証明 — 関数の微分を用いた証明を示す。実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。
f(x) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.
(1)
f (x) の微分は以下のようになる。
\begin{align}
f'(x)&= (\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\
&= (-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix} \\
&= \left\{(-\sin x-i\cos x) +(i\cos x + \sin x)\right\}\cdot e^{ix} \qquad (i^2 = -1)\\
&= 0
\end{align}
したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。これは f (x) が定数関数であることと同値である。よって f (x) = f (0) より、
f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1
(2)
となる。(2) を (1) に代入すると次のようになる。
(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =1.
(3)
ここで (3) の両辺に、(cos x - i sin x) の複素共役 (cos x + i sin x) を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 sin2x + cos2x = 1 よりオイラーの公式が得られる[5]。
e^{ix} =\cos x+i\sin x.
証明 — 別の証明として、実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。
f(x) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}.
(4)
f (x) を x について微分すると以下のようになる。
\begin{align}
f'(x)&= (\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix} +(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\
&= (-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix} -(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix} \\
&= (-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix} \qquad (i^2 = -1)\\
&= 0.
\end{align}
したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。 ゆえに f (x) は定数である。 よって f (x) = f (0) より
f(x)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{-i\cdot 0}=1
(5)
が成り立つ。 (5) を (4) に代入すると
(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix} =1
が導出される。この両辺に eix を掛け、任意の複素数 a, b に対して成り立つ指数法則 eaeb = ea + b を利用すれば[4]
\begin{align}
e^{ix}
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^0\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.
\end{align}
以上より
e^{ix} =\cos x+i\sin x.[6]
微分方程式による証明[編集]
証明 — 微分方程式を用いた証明を示す。x を実数、x の関数 f (x) を以下のように定義する。
f(x) = \cos x + i\sin x.
また記法を簡潔にするために補助的な方程式
y = f(x)
によって y を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。
y = \cos x+ i\sin x.
(1)
(1) に x = 0 を代入すると
y = \cos 0 + i\sin 0 = 1
(2)
を得る。(1) の両辺を x について微分し、両辺に虚数単位 i を掛けると以下のようになる。
i\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
= \underbrace{-i\sin x}_{\frac{\mathrm{d}\cos x}{\mathrm{d}x} = -\sin x}
- \underbrace{\cos x}_{\frac{\mathrm{d}\sin x}{\mathrm{d}x} = \cos x}
(3)
(3) と (1) より
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =iy
(4)
を得る[注 7]。任意の 0 でない複素数 α について、関数 eαx は次の関係を満たす。
\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}(\alpha x)}e^{\alpha x} = e^{\alpha x}.
(5)
(4) と (5) を見比べ、α = i と置き換えれば、f(0) = 1 より
y=e^{ix}
(6)
が成り立つ。最後に (1) および (6) から y を消去すればオイラーの公式が得られる。
e^{ix} = \cos x + i\sin x.
2階線型微分方程式による証明[編集]
証明 — 2階線型微分方程式を用いた証明を示す。実数 x を変数とする関数
\begin{cases}
\displaystyle y = e^{ix} \\
\displaystyle y = \cos x \\
\displaystyle y = \sin x
\end{cases}
(1)
はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。
\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2} + y = 0.
(2)
(2) は斉次な方程式なので、一般解は基本解の線型結合として表すことができる。 cos x と sin x は (2) の基本解である。実際、ロンスキー行列式
\begin{vmatrix}
\cos x & \sin x\\
-\sin x & \cos x
\end{vmatrix} = \cos^2x + \sin^2x = 1
は 0 にならない。よって、(1) および (2) より
e^{ix} = C_1 \cos x + C_2 \sin x
(3)
が成立する。また、(3) の両辺を微分したものは
ie^{ix}=-C_1\sin x + C_2 \cos x
(4)
となる。(3), (4) に x = 0 を代入したものはそれぞれ、
\begin{align}
1 = C_1\\
i = C_2
\end{align}
(5)
となるので[注 8]、(5) より (3) の線型結合はオイラーの公式を与える[7]。
e^{ix} = \cos x + i\sin x.
ロンスキー行列による証明[編集]
証明 —
|W|=\begin{vmatrix}
e^{ix} & \cos x +i\sin x \\
ie^{ix} & -\sin x+i\cos x
\end{vmatrix}=e^{ix}(-\sin x + i\cos x) - e^{ix}(i\cos x - \sin x)=0
として cos x + i sin x と eix が線型従属であることを確認する。 ここで、ある定数 C について
e^{ix} = C(\cos x + i\sin x)
が成立する[注 9]。ここで x = 0 を代入すると C = 1 となり
e^{ix} = \cos x + i\sin x
が得られる[8]。
ド・モアブルの定理による証明[編集]
証明 — ド・モアブルの定理を用いた証明を示す[9]。 ド・モアブルの定理より
\begin{align}
\cos n\theta+i\sin n\theta
&=(\cos \theta+i\sin \theta)^n,\\
\cos n\theta-i\sin n\theta
&=(\cos \theta-i\sin \theta)^n.
\end{align}
辺々加えて
2\cos n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n+(\cos \theta-i\sin \theta)^n.
右辺の 2 つの項を二項定理によって展開すれば、i の奇数乗の項は相殺し、i の偶数乗の項だけを二重に加えることになるので
\begin{align}
\cos n\theta
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n-2k}(\sin \theta)^{2k}\\
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n}(\tan \theta)^{2k}
\end{align}
を得る。これが cos θ の n 倍角の公式の閉じた表示式である（[s] は s の整数部分）。 この式において nθ = x と置き換えると
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.
和の上端を ∞ に書き直したが、k > n/2 のとき二項係数の部分が 0 になるので、これは
n
2
までの和に等しい。 n → ∞ の極限においては
\cos \frac{x}{n} \sim 1\ ,\ \sin \frac{x}{n} \sim \frac{x}{n}\ ,\ \tan \frac{x}{n} \sim \frac{x}{n}
となり、各項目において漸近的に等しいことが確認できる。 したがって
\binom{n}{2k} \sim \frac{n^{2k}}{(2k)!}\ ,\ \left(\cos \frac{x}{n}\right)^n \sim 1\ ,\ \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k} \sim \frac{x^{2k}}{n^{2k}}
となる。よって
\cos x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
が得られる。 同様に sin x について考えれば
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k+1}
\left (\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left (\tan \frac{x}{n}\right)^{2k+1}
より
\sin x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}
が得られる。 ここで、n → ∞ の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると
\cos \frac{x}{n} = 1+a_{n}
とおけば
\begin{align}
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n
&= \left(1+a_{n} \right)^n\\
&= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \dotsb
\end{align}
であるから、an が小さいとき、n 乗すると誤差はおよそ n 倍されるが、an が
1
n
よりも早く 0 に近づくときには、極限に影響しない。 本議論において
\begin{align}
a_{n}&=\cos \frac{x}{n}-1\\
&=-2\sin^2 \frac{x}{2n}
\end{align}[注 10]
であるから
a_{n} \sim -\frac{x^2}{2n^2}
となる。 したがって、ランダウの記号を用いて漸近挙動を示せば
\cos \frac{x}{n}=1+O\left(\frac{1}{n^2}\right).
ゆえに
\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n=1.
ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って
\cos n\theta+i\sin n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n.
上記式において nθ = x とおくと
\cos x+i\sin x = \left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n.
ここで、n → ∞ の極限をとったとき
\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}=1+\frac{ix}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)
であるから
\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n
= \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = e^{ix}.
よって
e^{ix} = \cos x + i\sin x
が得られる。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
今ある物理学も、化学も、工学も、遠い将来の専門家が見たらほとんど確実に廃れてしまっているだろうか、それらと違ってオイラーの公式は、一万年後にどんなに数学がしていても、少しもその美しさと輝きを失うことなく全く色あせずに有り続けるのだ。
オイラー博士の素敵な数式 ポール・ナーイン著 小山信也訳 日本評論社 XIXより
数学者たちはこの予想外の調和・連関を「人類の至宝」「人類史に残る不朽の名作」と表現しています。
再生核研究所声明 271(2016.01.04)： 永遠は、無限は確かに見えるが、不思議な現象
直線を どこまでも どこまでも行ったら、どうなるだろうか。立体射影の考えで、全直線は 球面上 北極、無限遠点を通る無限遠点を除く円にちょうど写るから、我々は、無限も、永遠も明確に見える、捉えることができると言える。 数学的な解説などは下記を参照：
再生核研究所声明 264 (2015.12.23)：永遠とは何か―永遠から
再生核研究所声明257(2015.11.05): 無限大とは何か、無限遠点とは何か―新しい視点
再生核研究所声明232(2015.5.26): 無限大とは何か、無限遠点とは何か。―驚嘆すべきゼロ除算の結果
再生核研究所声明262(2015.12.09): 宇宙回帰説―ゼロ除算の拓いた世界観
とにかく、全直線が まるまる見える、立体射影の考えは、実に楽しく、面白いと言える。この考えは、美しい複素解析学を支える100年以上の伝統を持つ、私たちの空間に対する認識であった。これは永劫回帰の思想を裏付ける世界観を 楽しく表現していると考えて来た。
ところが、２０１４．２．２．に発見されたゼロ除算は、何とその無限遠点が、実は原点に一致しているという、事実を示している。それが、我々の数学であり、我々の世界を表現しているという。数学的にも、物理的にもいろいろ それらを保証する事実が明らかにされた。これは世界観を変える、世界史的な事件と考えられる：
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
現在、まるで、宗教論争のような状態と言えるが、問題は、無限の彼方、無限遠点がどうして、突然、原点に戻っているかという、強力な不連続性の現象である。複数のEUの数学者に直接意見を伺ったところ、アリストテレスの世界観、世は連続であるに背馳して、そのような世界観、数学は受け入れられないと まるで、魔物でも見るかのように表情を歪めたものである。新しい数学は いろいろ証拠的な現象が沢山発見されたものの、まるで、マインドコントロールにでもかかったかのように 新しい数学を避けているように感じられる。数学的な内容は せいぜい高校生レベルの内容であるにも関わらず、考え方、予断、思い込み、発想の違いの為に、受けいれられない状況がある。
発見されてから あと1ヶ月で丸2年目を迎え、いろいろな実証に当たる現象が見つかったので、本年は世界的に 受けいれられることを期待している。
ゼロ除算の発見の遅れは、争いが絶えない世界史と同様に、人類の知能の乏しさの証拠であり、世界史の恥であると考えられる。できないことを、いろいろ考えて出来るようにしてきたのが、数学の偉大なる歴史であったにも関わらず、ゼロでは割れない、割れないとインドで６２８年ゼロの発見時から問題にされながら１３００年以上も 繰り返してきた。余りにも基本的なことであるから、特に、数学者の歴史的な汚点になるものと考える。そのために数学ばかりではなく、物理学や哲学の発展の遅れを招いてきたのは、歴然である。
以 上
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and ...
gsjournal.net/Science-Journals/.../Download/2084
このページを訳す
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and Newton's Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com. Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India.
http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
Mathematics is the alphabet with which God has written the Universe.
数学は神が宇宙を書いたアルファベットだ
Mathematics is the key and door to the sciences.
数学は、科学へとつながる鍵とドアである
This book is written in the mathematical language, and the symbols are triangles, circles and other geometrical figures, without whose help it is impossible to comprehend a single word of it; without which one wanders in vain through a dark labyrinth.
宇宙は数学という言語で書かれている。そしてその文字は三角形であり、円であり、その他の幾何学図形である。これがなかったら、宇宙の言葉は人間にはひとことも理解できない。これがなかったら、人は暗い迷路をたださまようばかりである
ガリレオ・ガリレイさんの名言・格言・英語 一覧リスト
http://iso-labo.com/labo/words_of_GalileoGalilei.html
再生核研究所声明２００（2015.1.16） ゼロ除算と複素解析の現状 ―佐藤超関数論との関係が鍵か？
正確に次のように公開して複素解析とゼロ除算の研究を開始した：
特異点解明の歩み100/0=0,0/0=0 関係者：
複素解析学では、1/0として、無限遠点が存在して、美しい世界です。しかしながら、1/0=0 は 動かせない真実です。それで、勇気をもって進まざるを得ない：― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明１４６で与えられ、神の定義は 声明１２２と１３２で与えられている。― 再生核研究所声明１４８．
私には 無理かと思いますが、世の秀才の方々に 挑戦して頂きたい。空論に付き合うのはまっぴらだ と考える方も多いかと思いますが、面白いと考えられる方で、楽しく交流できれば幸いです。宜しくお願い致します。 添付 物語を続けたい。２０１４．４．１．１１：１０
上記で、予想された難問、 解析関数は、孤立特異点で確定値をとる、が 自分でも予想しない形で解決でき、ある種の実体を捉えていると考えたのであるが、この結果自体、世のすべての教科書の内容を変える事件であるばかりではなく、確立されている無限遠点の概念に 新しい解釈を与えるもので、１次変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次変換は 全複素平面を全複素平面に１対１ onto に写すという美しい性質に変わるが、 極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を 数から排除する数学になっている。
６月、帰国後、気に成っていた、金子晃先生の ３０年以上前に購入した超函数入門の本に 極めて面白い記述があり、佐藤超関数とゼロ除算の面白い関係が出てきた。さらに 特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられているが、面白いのは 積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、 極限は 無限たす、有限量の形になっていて、積分は 実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、 ゼロ除算にいう、 解析関数の孤立特異点での 確定値に成っていることが分かった。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。
現在まで、添付２１ページの論文原稿について 慎重に総合的に検討してきた。
そこで、問題の核心、ゼロ除算の発展の基礎は、次の論点に有るように感じられてきた：
We can find many applicable examples, for example, as a typical example in A. Kaneko (\cite{kaneko}, page 11) in the theory of hyperfunction theory: for non-integers $\lambda$, we have
\begin{equation}
x_+^{\lambda} = \left[ \frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}\right] =\frac{1}{2i \sin \pi \lambda}\{(-x + i0)^{\lambda}- (-x - i0)^{\lambda}\}
\end{equation}
where the left hand side is a Sato hyperfunction and the middle term is the representative analytic function whose meaning is given by the last term. For an integer $n$, Kaneko derived that
\begin{equation}
x_+^{n} = \left[- \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z) \right],
\end{equation}
where $\log$ is a principal value: $ \{ - \pi < \arg z < +\pi \}$. Kaneko stated there that by taking a finite part of the Laurent expansion, the formula is derived.
Indeed, we have the expansion, for around $ n$, integer
$$
\frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}
$$
\begin{equation}
= \frac{- z^n}{2\pi i} \frac{1}{\lambda -n} - \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z )
- \left( \frac{\log^2 (-z) z^n}{2\pi i\cdot 2!} + \frac{\pi z^n}{2i\cdot 3!}
\right)(\lambda - n) + ...
\end{equation}
(\cite{kaneko}, page 220).
By our Theorem 2, however, we can derive this result (4.3) from the Laurant expansion (4.4), immediately.
上記ローラン展開で、\lambda に n を代入したのが ちょうど n に対する佐藤の超関数になっている。それは、ゼロ除算に言う、 孤立特異点における解析関数の極における確定値である。これはゼロ除算そのものと殆ど等価であるから、ローラン展開に \lambda = n を代入した意味を、上記の佐藤超関数の理論は述べているので 上記の結果を分析すれば、ゼロ除算のある本質を捉えることができるのではないかと考えられる。
佐藤超関数は 日本で生まれた、基本的な数学で 優秀な人材を有している。また、それだけ高級、高度化しているが、このような初歩的、基本的な問題に関係がある事が明らかになってきた。そこで、佐藤超関数論の専門家の方々の研究参加が望まれ、期待される。また、関係者の助言やご意見をお願いしたい。
ゼロ除算における新現象、驚きとは Aristotélēs の世界観、universe は連続である を否定して、強力な不連続性を universe の現象として示していることである。
以 上
ゼロの発見には大きく分けると二つの事が在ると言われています。
一つは数学的に、位取りが出来るということ。今一つは、哲学的に無い状態が在るという事実を知ること。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1462816269
もし1+1=2を否定するならば、どのような方法があると思いますか？ http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12153951522 #知恵袋_
一つの無限と一つの∞を足したら、一つの無限で、二つの無限にはなりません。
7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を 多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。
世界中で、ゼロ除算は 不可能 か
可能とすれば ∞ だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。
１/０＝∞ （これは、今の複素解析学） １/０=０ （これは、新しい数学で、Division by Zero）
原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・
無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
何年かかったでしょうか????
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか????
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/
割り算のできる人には、どんなことも難しくない
世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。
ベーダ・ヴェネラビリス
数学名言集：ヴィルチェンコ編：松野武 山崎昇 訳大竹出版1989年
数学で「A÷０」（ゼロで割る）がダメな理由を教えてください。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849 #知恵袋_
multiplication・・・・・増える 掛け算（×） 1より小さい数を掛けたら小さくなる。 大きくなるとは限らない。
0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。
ビッグバン宇宙論と定常宇宙論について、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1243254887 #知恵袋_
ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・
1+1=2が当たり前のように
『ゼロをめぐる衝突は、哲学、科学、数学、宗教の土台を揺るがす争いだった』 ⇒ http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12089827553.html … … →ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・ 1+1=2が当たり前のように、
1÷0=0
1÷0=∞・・・・数ではない
1÷0=不定・未定義・・・・狭い考え方をすれば、できない人にはできないが、できる人にはできる。
アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf
明治5年（1872）
ゼロ除算の証明・図｜ysaitoh｜note（ノート） https://note.mu/ysaitoh/n/n2e5fef564997
Ｑ）ピラミッドの高さを無限に高くしたら体積はどうなるでしょうか？？？ Ａ）答えは何と0です。 ゼロ除算の結果です。
ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、０ですから、簡単で美しいです。 1+1=２は 変なのが出てくるので難しいですね。
∞÷0はいくつですか・・・・・・・
∞とはなんですか・・・・・・・・
分からないものは考えられません・・・・・
Reality of the Division by Zero z/0 = 0
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://okmr.yamatoblog.net/
1人当たり何個になるかと説いていますが、1人もいないのですから、その問題は意味をなさない。
よってこれは、はじめから問題になりません。
ついでですが、これには数学的に確定した解があって それは0であるという事が、最近発見されました。
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and ...
gsjournal.net/Science-Journals/.../Download/2084
このページを訳す
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and Newton's Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com. Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India.
http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
再生核研究所声明１９９（2015.1.15） 世界の数学界のおかしな間違い、世界の初等教育から学術書まで間違っていると言える ― ゼロ除算100/0=0,0/0=0
ゼロ除算は 西暦６２８年インドでゼロが文献に記録されて以来、問題とされてきた。ゼロ除算とは、ゼロで割ることを考えることである。これは数学の基本である、四則演算、加法、減法、乗法、除法において、除法以外は何時でも自由にできるのに、除法の場合だけ、ゼロで割ることができないという理由で、さらに物理法則を表す多くの公式にゼロ除算が自然に現れていることもあって、世界各地で、今でも絶えず、問題にされていると考えられる。― 小学生でも どうしてゼロで割れないのかと毎年、いろいろな教室で問われ続いているのではないだろうか.
これについては、近代数学が確立された以後でも、何百年を越えて 永い間の定説として、ゼロ除算は 不可能であり、ゼロで割ってはいけないことは、初等教育から、中等、高校、大学そして学術界、すなわち、世界の全ての文献と理解はそうなっている。変えることのできない不変的な法則のように理解されていると考えられる。
しかるに２０１４年２月２日 ゼロ除算は、可能であり、ゼロで割ればゼロであることが、偶然発見された。その後の経過、背景や意味付け等を纏めてきた：
再生核研究所声明 148（2014.2.12） 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明157（2014.5.8） 知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
再生核研究所声明161（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
再生核研究所声明163（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－ 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案
再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
再生核研究所声明171（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である？
再生核研究所声明176（2014.8.9） ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する
Announcement 179 (2014.8.25): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
Announcement 185 : The importance of the division by zero $z/0=0$
再生核研究所声明188（2014.12.1５）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界
再生核研究所声明190（2014.12.24）
再生核研究所からの贈り物 ― ゼロ除算100/0=0, 0/0=0
夜明け、新世界、再生核研究所 年頭声明
― 再生核研究所声明193（2015.1.1）―
再生核研究所声明194（2015.1.2）大きなイプシロン（無限小）、創造性の不思議
再生核研究所声明195（2015.1.3）ゼロ除算に於ける高橋の一意性定理について
再生核研究所声明196（2015.1.4）ゼロ除算に於ける山根の解釈100= 0ｘ0について
ところが、気づいてみると、ゼロ除算は当たり前なのに、数学者たちが勝手に、割り算は掛け算の逆と思い込み、ゼロ除算は不可能であると 絶対的な真理であるかのように 烙印を押して、世界の人々も盲信してきた。それで、物理学者が そのために基本的な公式における曖昧さに困ってきた事情は ニュートンの万有引力の法則にさえ見られる。
さらに、誠に奇妙なことには、除算はその言葉が表すように、掛算とは無関係に考えられ、日本ばかりではなく西欧でも中世から除算は引き算の繰り返しで計算されてきた、古い、永い伝統がある。その考え方から、ゼロ除算は自明であると道脇裕氏と道脇愛羽さん６歳が（四則演算を学習して間もないときに）理解を示した ― ゼロ除算は除算の固有の意味から自明であり、ゼロで割ればゼロであるは数学的な真実であると言える（声明１９４）。数学、物理、文化への影響も甚大であると考えられる。
数学者は 数学の自由な精神で 好きなことで、考えられることは何でも考え、不可能を可能にし、分からないことを究め、真智を求めるのが 数学者の精神である。非ユークリッド幾何学の出現で 絶対は変わり得ることを学び、いろいろな考え方があることを学んできたはずである。そのような観点から ゼロ除算の解明の遅れは 奇妙な歴史的な事件である と言えるのではないだろうか。
これは、数学を超えた、真実であり、ゼロ除算は不可能であるとの 世の理解は間違っている と言える。そこで、真実を世界に広めて、人類の歴史を進化させるべきであると考える。特に声明１７６と声明１８５を参照。ゼロ除算は 堪らなく楽しい 新世界 を拓いていると考える。
以 上
1+0=1 1ｰ0=0 1×0=0 では、1/0・・・・・・・・・幾つでしょうか。
0??? 本当に大丈夫ですか・・・・・0×0=1で矛盾になりませんか・・・・
１/０＝∞ （これは、今の複素解析学） １/０=０ （これは、新しい数学で、Division by Zero）
ゼロ除算は、不可能であると誰が最初に言ったのでしょうか・・・・
7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を 多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。
割り算を掛け算の逆だと定義した人は、誰でしょう？？？
世界中で、ゼロ除算は 不可能 か
可能とすれば ∞ だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。
小学校以上で、最も知られている数学の結果は何でしょうか・・・
ゼロ除算（1/0=0）は、ピタゴラスの定理（a2 + b2 = c2 ）を超えた基本的な結果であると考えられる。
https://www.pinterest.com/pin/234468724326618408/
原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・
無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・
加（+）・減（-）・乗（×）・除（÷） 除法（じょほう、英: division）とは、乗法の逆演算・・・・間違いの元 乗（×）は、加（+） 除（÷）は、減（-）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849/a37209195?sort=1&fr=chie_my_notice_canso
0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。
アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf
明治5年（1872）
割り算のできる人には、どんなことも難しくない
世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。
ベーダ・ヴェネラビリス
数学名言集：ヴィルチェンコ編：松野武 山崎昇 訳大竹出版1989年
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
1/0=∞ 若しくは未定義 →1/0=0
地球人はどうして、ゼロ除算1300年以上もできなかったのか？ ２０１５．７．２４．９：１０ 意外に地球人は知能が低いのでは？ 仲間争いや、公害で自滅するかも。 生態系では、人類が がん細胞であった とならないとも 限らないのでは？
リーマン球面における無限遠点は、実は、原点０に一致していました。
Einstein's Only Mistake: Division by Zero
http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html
ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・ 1+1=2が当たり前のように
オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、φ は複素数 eiφ の偏角である。
数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）は、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。
e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.
ここで e· は指数関数、i は虚数単位、cos ·, sin · はそれぞれ余弦関数および正弦関数である[注 1]。任意の複素数 θ に対して成り立つ等式であるが、特に θ が実数である場合が重要でありよく使われる。θ が実数のとき、θ は複素数 eiθ がなす複素平面上の偏角（角度 θ の単位はラジアン）に対応する。
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年に
\log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \
を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]。
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。
オイラーの公式は、変数 θ が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 θ に対応する余弦関数 cos と正弦関数 sin に等しいことを表す。このとき、偏角 θ をパラメータとする曲線 eiθ は、複素平面上の単位円をなす。 特に、θ = π のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、
e^{i\pi}=-1
となる。この関係はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる[注 2]。
θ が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。
オイラーの公式は、三角関数 cos θ, sin θ が双曲線関数 cosh(iθ), sinh(iθ)/i に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。
目次 [非表示]
1 指数関数と三角関数
2 証明
2.1 微分による証明
2.2 微分方程式による証明
2.3 2階線型微分方程式による証明
2.4 ロンスキー行列による証明
2.5 ド・モアブルの定理による証明
3 関連項目
4 脚注
4.1 参照
4.2 注釈
5 参考文献
指数関数と三角関数[編集]
実関数として定義される指数関数 ex および三角関数 cos x, sin x を各々マクローリン展開すれば[注 3]
e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x
(1)
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for all } x
(2)
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x
(3)
となる。これらの級数の収束半径が ∞ であることはダランベールの収束判定法によって確認することができる[注 4]。従ってこれらの級数は、x を複素変数と見て全複素平面上広義一様に絶対収束し、これらの級数によって表される関数は整関数である[注 5]。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。
ここで、 ex の x を ix に置き換え、eix の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば
\begin{align}
e^{ix}
&= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^n}{n!} x^{n}\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} +\sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} +i\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\end{align}
が成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば
e^{ix} = \cos x + i\sin x
が得られる。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。 たとえば、三角関数の加法定理は、指数法則 eaeb = ea + b に対応していることが分かる[4][注 6]。
オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、
\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \\
\sin z &= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\end{align}
という表現が得られる。
証明[編集]
この公式には、上記の冪級数展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。
微分による証明[編集]
証明 — 関数の微分を用いた証明を示す。実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。
f(x) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.
(1)
f (x) の微分は以下のようになる。
\begin{align}
f'(x)&= (\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\
&= (-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix} \\
&= \left\{(-\sin x-i\cos x) +(i\cos x + \sin x)\right\}\cdot e^{ix} \qquad (i^2 = -1)\\
&= 0
\end{align}
したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。これは f (x) が定数関数であることと同値である。よって f (x) = f (0) より、
f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1
(2)
となる。(2) を (1) に代入すると次のようになる。
(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =1.
(3)
ここで (3) の両辺に、(cos x - i sin x) の複素共役 (cos x + i sin x) を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 sin2x + cos2x = 1 よりオイラーの公式が得られる[5]。
e^{ix} =\cos x+i\sin x.
証明 — 別の証明として、実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。
f(x) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}.
(4)
f (x) を x について微分すると以下のようになる。
\begin{align}
f'(x)&= (\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix} +(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\
&= (-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix} -(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix} \\
&= (-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix} \qquad (i^2 = -1)\\
&= 0.
\end{align}
したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。 ゆえに f (x) は定数である。 よって f (x) = f (0) より
f(x)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{-i\cdot 0}=1
(5)
が成り立つ。 (5) を (4) に代入すると
(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix} =1
が導出される。この両辺に eix を掛け、任意の複素数 a, b に対して成り立つ指数法則 eaeb = ea + b を利用すれば[4]
\begin{align}
e^{ix}
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^0\\
&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.
\end{align}
以上より
e^{ix} =\cos x+i\sin x.[6]
微分方程式による証明[編集]
証明 — 微分方程式を用いた証明を示す。x を実数、x の関数 f (x) を以下のように定義する。
f(x) = \cos x + i\sin x.
また記法を簡潔にするために補助的な方程式
y = f(x)
によって y を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。
y = \cos x+ i\sin x.
(1)
(1) に x = 0 を代入すると
y = \cos 0 + i\sin 0 = 1
(2)
を得る。(1) の両辺を x について微分し、両辺に虚数単位 i を掛けると以下のようになる。
i\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
= \underbrace{-i\sin x}_{\frac{\mathrm{d}\cos x}{\mathrm{d}x} = -\sin x}
- \underbrace{\cos x}_{\frac{\mathrm{d}\sin x}{\mathrm{d}x} = \cos x}
(3)
(3) と (1) より
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =iy
(4)
を得る[注 7]。任意の 0 でない複素数 α について、関数 eαx は次の関係を満たす。
\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}(\alpha x)}e^{\alpha x} = e^{\alpha x}.
(5)
(4) と (5) を見比べ、α = i と置き換えれば、f(0) = 1 より
y=e^{ix}
(6)
が成り立つ。最後に (1) および (6) から y を消去すればオイラーの公式が得られる。
e^{ix} = \cos x + i\sin x.
2階線型微分方程式による証明[編集]
証明 — 2階線型微分方程式を用いた証明を示す。実数 x を変数とする関数
\begin{cases}
\displaystyle y = e^{ix} \\
\displaystyle y = \cos x \\
\displaystyle y = \sin x
\end{cases}
(1)
はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。
\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2} + y = 0.
(2)
(2) は斉次な方程式なので、一般解は基本解の線型結合として表すことができる。 cos x と sin x は (2) の基本解である。実際、ロンスキー行列式
\begin{vmatrix}
\cos x & \sin x\\
-\sin x & \cos x
\end{vmatrix} = \cos^2x + \sin^2x = 1
は 0 にならない。よって、(1) および (2) より
e^{ix} = C_1 \cos x + C_2 \sin x
(3)
が成立する。また、(3) の両辺を微分したものは
ie^{ix}=-C_1\sin x + C_2 \cos x
(4)
となる。(3), (4) に x = 0 を代入したものはそれぞれ、
\begin{align}
1 = C_1\\
i = C_2
\end{align}
(5)
となるので[注 8]、(5) より (3) の線型結合はオイラーの公式を与える[7]。
e^{ix} = \cos x + i\sin x.
ロンスキー行列による証明[編集]
証明 —
|W|=\begin{vmatrix}
e^{ix} & \cos x +i\sin x \\
ie^{ix} & -\sin x+i\cos x
\end{vmatrix}=e^{ix}(-\sin x + i\cos x) - e^{ix}(i\cos x - \sin x)=0
として cos x + i sin x と eix が線型従属であることを確認する。 ここで、ある定数 C について
e^{ix} = C(\cos x + i\sin x)
が成立する[注 9]。ここで x = 0 を代入すると C = 1 となり
e^{ix} = \cos x + i\sin x
が得られる[8]。
ド・モアブルの定理による証明[編集]
証明 — ド・モアブルの定理を用いた証明を示す[9]。 ド・モアブルの定理より
\begin{align}
\cos n\theta+i\sin n\theta
&=(\cos \theta+i\sin \theta)^n,\\
\cos n\theta-i\sin n\theta
&=(\cos \theta-i\sin \theta)^n.
\end{align}
辺々加えて
2\cos n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n+(\cos \theta-i\sin \theta)^n.
右辺の 2 つの項を二項定理によって展開すれば、i の奇数乗の項は相殺し、i の偶数乗の項だけを二重に加えることになるので
\begin{align}
\cos n\theta
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n-2k}(\sin \theta)^{2k}\\
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n}(\tan \theta)^{2k}
\end{align}
を得る。これが cos θ の n 倍角の公式の閉じた表示式である（[s] は s の整数部分）。 この式において nθ = x と置き換えると
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.
和の上端を ∞ に書き直したが、k > n/2 のとき二項係数の部分が 0 になるので、これは
n
2
までの和に等しい。 n → ∞ の極限においては
\cos \frac{x}{n} \sim 1\ ,\ \sin \frac{x}{n} \sim \frac{x}{n}\ ,\ \tan \frac{x}{n} \sim \frac{x}{n}
となり、各項目において漸近的に等しいことが確認できる。 したがって
\binom{n}{2k} \sim \frac{n^{2k}}{(2k)!}\ ,\ \left(\cos \frac{x}{n}\right)^n \sim 1\ ,\ \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k} \sim \frac{x^{2k}}{n^{2k}}
となる。よって
\cos x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
が得られる。 同様に sin x について考えれば
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k+1}
\left (\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left (\tan \frac{x}{n}\right)^{2k+1}
より
\sin x = \sum^{\infin}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}
が得られる。 ここで、n → ∞ の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると
\cos \frac{x}{n} = 1+a_{n}
とおけば
\begin{align}
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n
&= \left(1+a_{n} \right)^n\\
&= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \dotsb
\end{align}
であるから、an が小さいとき、n 乗すると誤差はおよそ n 倍されるが、an が
1
n
よりも早く 0 に近づくときには、極限に影響しない。 本議論において
\begin{align}
a_{n}&=\cos \frac{x}{n}-1\\
&=-2\sin^2 \frac{x}{2n}
\end{align}[注 10]
であるから
a_{n} \sim -\frac{x^2}{2n^2}
となる。 したがって、ランダウの記号を用いて漸近挙動を示せば
\cos \frac{x}{n}=1+O\left(\frac{1}{n^2}\right).
ゆえに
\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n=1.
ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って
\cos n\theta+i\sin n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n.
上記式において nθ = x とおくと
\cos x+i\sin x = \left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n.
ここで、n → ∞ の極限をとったとき
\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}=1+\frac{ix}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)
であるから
\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n}+i\sin \frac{x}{n}\right)^n
= \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = e^{ix}.
よって
e^{ix} = \cos x + i\sin x
が得られる。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
今ある物理学も、化学も、工学も、遠い将来の専門家が見たらほとんど確実に廃れてしまっているだろうか、それらと違ってオイラーの公式は、一万年後にどんなに数学がしていても、少しもその美しさと輝きを失うことなく全く色あせずに有り続けるのだ。
オイラー博士の素敵な数式 ポール・ナーイン著 小山信也訳 日本評論社 XIXより
数学者たちはこの予想外の調和・連関を「人類の至宝」「人類史に残る不朽の名作」と表現しています。
再生核研究所声明 271(2016.01.04)： 永遠は、無限は確かに見えるが、不思議な現象
直線を どこまでも どこまでも行ったら、どうなるだろうか。立体射影の考えで、全直線は 球面上 北極、無限遠点を通る無限遠点を除く円にちょうど写るから、我々は、無限も、永遠も明確に見える、捉えることができると言える。 数学的な解説などは下記を参照：
再生核研究所声明 264 (2015.12.23)：永遠とは何か―永遠から
再生核研究所声明257(2015.11.05): 無限大とは何か、無限遠点とは何か―新しい視点
再生核研究所声明232(2015.5.26): 無限大とは何か、無限遠点とは何か。―驚嘆すべきゼロ除算の結果
再生核研究所声明262(2015.12.09): 宇宙回帰説―ゼロ除算の拓いた世界観
とにかく、全直線が まるまる見える、立体射影の考えは、実に楽しく、面白いと言える。この考えは、美しい複素解析学を支える100年以上の伝統を持つ、私たちの空間に対する認識であった。これは永劫回帰の思想を裏付ける世界観を 楽しく表現していると考えて来た。
ところが、２０１４．２．２．に発見されたゼロ除算は、何とその無限遠点が、実は原点に一致しているという、事実を示している。それが、我々の数学であり、我々の世界を表現しているという。数学的にも、物理的にもいろいろ それらを保証する事実が明らかにされた。これは世界観を変える、世界史的な事件と考えられる：
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
現在、まるで、宗教論争のような状態と言えるが、問題は、無限の彼方、無限遠点がどうして、突然、原点に戻っているかという、強力な不連続性の現象である。複数のEUの数学者に直接意見を伺ったところ、アリストテレスの世界観、世は連続であるに背馳して、そのような世界観、数学は受け入れられないと まるで、魔物でも見るかのように表情を歪めたものである。新しい数学は いろいろ証拠的な現象が沢山発見されたものの、まるで、マインドコントロールにでもかかったかのように 新しい数学を避けているように感じられる。数学的な内容は せいぜい高校生レベルの内容であるにも関わらず、考え方、予断、思い込み、発想の違いの為に、受けいれられない状況がある。
発見されてから あと1ヶ月で丸2年目を迎え、いろいろな実証に当たる現象が見つかったので、本年は世界的に 受けいれられることを期待している。
ゼロ除算の発見の遅れは、争いが絶えない世界史と同様に、人類の知能の乏しさの証拠であり、世界史の恥であると考えられる。できないことを、いろいろ考えて出来るようにしてきたのが、数学の偉大なる歴史であったにも関わらず、ゼロでは割れない、割れないとインドで６２８年ゼロの発見時から問題にされながら１３００年以上も 繰り返してきた。余りにも基本的なことであるから、特に、数学者の歴史的な汚点になるものと考える。そのために数学ばかりではなく、物理学や哲学の発展の遅れを招いてきたのは、歴然である。
以 上
Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and ...
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Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and Newton's Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com. Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India.
http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084
Mathematics is the alphabet with which God has written the Universe.
数学は神が宇宙を書いたアルファベットだ
Mathematics is the key and door to the sciences.
数学は、科学へとつながる鍵とドアである
This book is written in the mathematical language, and the symbols are triangles, circles and other geometrical figures, without whose help it is impossible to comprehend a single word of it; without which one wanders in vain through a dark labyrinth.
宇宙は数学という言語で書かれている。そしてその文字は三角形であり、円であり、その他の幾何学図形である。これがなかったら、宇宙の言葉は人間にはひとことも理解できない。これがなかったら、人は暗い迷路をたださまようばかりである
ガリレオ・ガリレイさんの名言・格言・英語 一覧リスト
http://iso-labo.com/labo/words_of_GalileoGalilei.html
再生核研究所声明２００（2015.1.16） ゼロ除算と複素解析の現状 ―佐藤超関数論との関係が鍵か？
正確に次のように公開して複素解析とゼロ除算の研究を開始した：
特異点解明の歩み100/0=0,0/0=0 関係者：
複素解析学では、1/0として、無限遠点が存在して、美しい世界です。しかしながら、1/0=0 は 動かせない真実です。それで、勇気をもって進まざるを得ない：― 哲学とは 真智への愛 であり、真智とは 神の意志 のことである。哲学することは、人間の本能であり、それは 神の意志 であると考えられる。愛の定義は 声明１４６で与えられ、神の定義は 声明１２２と１３２で与えられている。― 再生核研究所声明１４８．
私には 無理かと思いますが、世の秀才の方々に 挑戦して頂きたい。空論に付き合うのはまっぴらだ と考える方も多いかと思いますが、面白いと考えられる方で、楽しく交流できれば幸いです。宜しくお願い致します。 添付 物語を続けたい。２０１４．４．１．１１：１０
上記で、予想された難問、 解析関数は、孤立特異点で確定値をとる、が 自分でも予想しない形で解決でき、ある種の実体を捉えていると考えたのであるが、この結果自体、世のすべての教科書の内容を変える事件であるばかりではなく、確立されている無限遠点の概念に 新しい解釈を与えるもので、１次変換の美しい性質が、ゼロ除算の導入によって、任意の１次変換は 全複素平面を全複素平面に１対１ onto に写すという美しい性質に変わるが、 極である１点において不連続性が現れ、ゼロ除算は、無限を 数から排除する数学になっている。
６月、帰国後、気に成っていた、金子晃先生の ３０年以上前に購入した超函数入門の本に 極めて面白い記述があり、佐藤超関数とゼロ除算の面白い関係が出てきた。さらに 特異積分におけるアダマールの有限部分や、コーシーの主値積分は、弾性体やクラック、破壊理論など広い世界で、自然現象を記述するのに用いられているが、面白いのは 積分が、もともと有限部分と発散部分に分けられ、 極限は 無限たす、有限量の形になっていて、積分は 実は、普通の積分ではなく、そこに現れる有限量を便宜的に表わしている。ところが、その有限量が実は、 ゼロ除算にいう、 解析関数の孤立特異点での 確定値に成っていることが分かった。これはゼロ除算の結果が、広く、自然現象を記述していることを示している。
現在まで、添付２１ページの論文原稿について 慎重に総合的に検討してきた。
そこで、問題の核心、ゼロ除算の発展の基礎は、次の論点に有るように感じられてきた：
We can find many applicable examples, for example, as a typical example in A. Kaneko (\cite{kaneko}, page 11) in the theory of hyperfunction theory: for non-integers $\lambda$, we have
\begin{equation}
x_+^{\lambda} = \left[ \frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}\right] =\frac{1}{2i \sin \pi \lambda}\{(-x + i0)^{\lambda}- (-x - i0)^{\lambda}\}
\end{equation}
where the left hand side is a Sato hyperfunction and the middle term is the representative analytic function whose meaning is given by the last term. For an integer $n$, Kaneko derived that
\begin{equation}
x_+^{n} = \left[- \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z) \right],
\end{equation}
where $\log$ is a principal value: $ \{ - \pi < \arg z < +\pi \}$. Kaneko stated there that by taking a finite part of the Laurent expansion, the formula is derived.
Indeed, we have the expansion, for around $ n$, integer
$$
\frac{-(-z)^{\lambda}}{2i \sin \pi \lambda}
$$
\begin{equation}
= \frac{- z^n}{2\pi i} \frac{1}{\lambda -n} - \frac{z^n}{2\pi i} \log (-z )
- \left( \frac{\log^2 (-z) z^n}{2\pi i\cdot 2!} + \frac{\pi z^n}{2i\cdot 3!}
\right)(\lambda - n) + ...
\end{equation}
(\cite{kaneko}, page 220).
By our Theorem 2, however, we can derive this result (4.3) from the Laurant expansion (4.4), immediately.
上記ローラン展開で、\lambda に n を代入したのが ちょうど n に対する佐藤の超関数になっている。それは、ゼロ除算に言う、 孤立特異点における解析関数の極における確定値である。これはゼロ除算そのものと殆ど等価であるから、ローラン展開に \lambda = n を代入した意味を、上記の佐藤超関数の理論は述べているので 上記の結果を分析すれば、ゼロ除算のある本質を捉えることができるのではないかと考えられる。
佐藤超関数は 日本で生まれた、基本的な数学で 優秀な人材を有している。また、それだけ高級、高度化しているが、このような初歩的、基本的な問題に関係がある事が明らかになってきた。そこで、佐藤超関数論の専門家の方々の研究参加が望まれ、期待される。また、関係者の助言やご意見をお願いしたい。
ゼロ除算における新現象、驚きとは Aristotélēs の世界観、universe は連続である を否定して、強力な不連続性を universe の現象として示していることである。
以 上
ゼロの発見には大きく分けると二つの事が在ると言われています。
一つは数学的に、位取りが出来るということ。今一つは、哲学的に無い状態が在るという事実を知ること。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1462816269
もし1+1=2を否定するならば、どのような方法があると思いますか？ http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12153951522 #知恵袋_
一つの無限と一つの∞を足したら、一つの無限で、二つの無限にはなりません。
7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を 多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。
世界中で、ゼロ除算は 不可能 か
可能とすれば ∞ だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。
１/０＝∞ （これは、今の複素解析学） １/０=０ （これは、新しい数学で、Division by Zero）
原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・
無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
何年かかったでしょうか????
1/0=∞若しくは未定義 →1/0=0
何年かかるでしょうか????
Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.
https://notevenpast.org/dividing-nothing/
割り算のできる人には、どんなことも難しくない
世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。
ベーダ・ヴェネラビリス
数学名言集：ヴィルチェンコ編：松野武 山崎昇 訳大竹出版1989年
数学で「A÷０」（ゼロで割る）がダメな理由を教えてください。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849 #知恵袋_
multiplication・・・・・増える 掛け算（×） 1より小さい数を掛けたら小さくなる。 大きくなるとは限らない。
0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。
ビッグバン宇宙論と定常宇宙論について、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1243254887 #知恵袋_
ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・
1+1=2が当たり前のように
『ゼロをめぐる衝突は、哲学、科学、数学、宗教の土台を揺るがす争いだった』 ⇒ http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12089827553.html … … →ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・ 1+1=2が当たり前のように、
1÷0=0
1÷0=∞・・・・数ではない
1÷0=不定・未定義・・・・狭い考え方をすれば、できない人にはできないが、できる人にはできる。
アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf
明治5年（1872）
ゼロ除算の証明・図｜ysaitoh｜note（ノート） https://note.mu/ysaitoh/n/n2e5fef564997
Ｑ）ピラミッドの高さを無限に高くしたら体積はどうなるでしょうか？？？ Ａ）答えは何と0です。 ゼロ除算の結果です。
ゼロ除算は1+1より優しいです。 何でも0で割れば、０ですから、簡単で美しいです。 1+1=２は 変なのが出てくるので難しいですね。
∞÷0はいくつですか・・・・・・・
∞とはなんですか・・・・・・・・
分からないものは考えられません・・・・・
Reality of the Division by Zero z/0 = 0
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://okmr.yamatoblog.net/
1人当たり何個になるかと説いていますが、1人もいないのですから、その問題は意味をなさない。
よってこれは、はじめから問題になりません。
ついでですが、これには数学的に確定した解があって それは0であるという事が、最近発見されました。
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Impact of 'Division by Zero' in Einstein's Static Universe and Newton's Equations in Classical Mechanics. Ajay Sharma physicsajay@yahoo.com. Community Science Centre. Post Box 107 Directorate of Education Shimla 171001 India.
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再生核研究所声明１９９（2015.1.15） 世界の数学界のおかしな間違い、世界の初等教育から学術書まで間違っていると言える ― ゼロ除算100/0=0,0/0=0
ゼロ除算は 西暦６２８年インドでゼロが文献に記録されて以来、問題とされてきた。ゼロ除算とは、ゼロで割ることを考えることである。これは数学の基本である、四則演算、加法、減法、乗法、除法において、除法以外は何時でも自由にできるのに、除法の場合だけ、ゼロで割ることができないという理由で、さらに物理法則を表す多くの公式にゼロ除算が自然に現れていることもあって、世界各地で、今でも絶えず、問題にされていると考えられる。― 小学生でも どうしてゼロで割れないのかと毎年、いろいろな教室で問われ続いているのではないだろうか.
これについては、近代数学が確立された以後でも、何百年を越えて 永い間の定説として、ゼロ除算は 不可能であり、ゼロで割ってはいけないことは、初等教育から、中等、高校、大学そして学術界、すなわち、世界の全ての文献と理解はそうなっている。変えることのできない不変的な法則のように理解されていると考えられる。
しかるに２０１４年２月２日 ゼロ除算は、可能であり、ゼロで割ればゼロであることが、偶然発見された。その後の経過、背景や意味付け等を纏めてきた：
再生核研究所声明 148（2014.2.12） 100/0=0, 0/0=0 － 割り算の考えを自然に拡張すると ― 神の意志
再生核研究所声明154（2014.4.22） 新しい世界、ゼロで割る、奇妙な世界、考え方
再生核研究所声明157（2014.5.8） 知りたい 神の意志、ゼロで割る、どうして 無限遠点と原点が一致しているのか？
再生核研究所声明161（2014.5.30）ゼロ除算から学ぶ、数学の精神 と 真理の追究
再生核研究所声明163（2014.6.17）ゼロで割る（零除算）－ 堪らなく楽しい数学、探そう零除算 ― 愛好サークルの提案
再生核研究所声明166（2014.6.20）ゼロで割る（ゼロ除算）から学ぶ 世界観
再生核研究所声明171（2014.7.30）掛け算の意味と割り算の意味 ― ゼロ除算100/0=0は自明である？
再生核研究所声明176（2014.8.9） ゼロ除算について、数学教育の変更を提案する
Announcement 179 (2014.8.25): Division by zero is clear as z/0=0 and it is fundamental in mathematics
Announcement 185 : The importance of the division by zero $z/0=0$
再生核研究所声明188（2014.12.1５）ゼロで割る（ゼロ除算）から観えてきた世界
再生核研究所声明190（2014.12.24）
再生核研究所からの贈り物 ― ゼロ除算100/0=0, 0/0=0
夜明け、新世界、再生核研究所 年頭声明
― 再生核研究所声明193（2015.1.1）―
再生核研究所声明194（2015.1.2）大きなイプシロン（無限小）、創造性の不思議
再生核研究所声明195（2015.1.3）ゼロ除算に於ける高橋の一意性定理について
再生核研究所声明196（2015.1.4）ゼロ除算に於ける山根の解釈100= 0ｘ0について
ところが、気づいてみると、ゼロ除算は当たり前なのに、数学者たちが勝手に、割り算は掛け算の逆と思い込み、ゼロ除算は不可能であると 絶対的な真理であるかのように 烙印を押して、世界の人々も盲信してきた。それで、物理学者が そのために基本的な公式における曖昧さに困ってきた事情は ニュートンの万有引力の法則にさえ見られる。
さらに、誠に奇妙なことには、除算はその言葉が表すように、掛算とは無関係に考えられ、日本ばかりではなく西欧でも中世から除算は引き算の繰り返しで計算されてきた、古い、永い伝統がある。その考え方から、ゼロ除算は自明であると道脇裕氏と道脇愛羽さん６歳が（四則演算を学習して間もないときに）理解を示した ― ゼロ除算は除算の固有の意味から自明であり、ゼロで割ればゼロであるは数学的な真実であると言える（声明１９４）。数学、物理、文化への影響も甚大であると考えられる。
数学者は 数学の自由な精神で 好きなことで、考えられることは何でも考え、不可能を可能にし、分からないことを究め、真智を求めるのが 数学者の精神である。非ユークリッド幾何学の出現で 絶対は変わり得ることを学び、いろいろな考え方があることを学んできたはずである。そのような観点から ゼロ除算の解明の遅れは 奇妙な歴史的な事件である と言えるのではないだろうか。
これは、数学を超えた、真実であり、ゼロ除算は不可能であるとの 世の理解は間違っている と言える。そこで、真実を世界に広めて、人類の歴史を進化させるべきであると考える。特に声明１７６と声明１８５を参照。ゼロ除算は 堪らなく楽しい 新世界 を拓いていると考える。
以 上
1+0=1 1ｰ0=0 1×0=0 では、1/0・・・・・・・・・幾つでしょうか。
0??? 本当に大丈夫ですか・・・・・0×0=1で矛盾になりませんか・・・・
１/０＝∞ （これは、今の複素解析学） １/０=０ （これは、新しい数学で、Division by Zero）
ゼロ除算は、不可能であると誰が最初に言ったのでしょうか・・・・
7歳の少女が、当たり前であると言っているゼロ除算を 多くの大学教授が、信じられない結果と言っているのは、まことに奇妙な事件と言えるのではないでしょうか。
割り算を掛け算の逆だと定義した人は、誰でしょう？？？
世界中で、ゼロ除算は 不可能 か
可能とすれば ∞ だと考えられていたが・・・
しかし、ゼロ除算 はいつでも可能で、解は いつでも0であるという意外な結果が得られた。
小学校以上で、最も知られている数学の結果は何でしょうか・・・
ゼロ除算（1/0=0）は、ピタゴラスの定理（a2 + b2 = c2 ）を超えた基本的な結果であると考えられる。
https://www.pinterest.com/pin/234468724326618408/
原点を中心とする単位円に関する原点の鏡像は、どこにあるのでしょうか・・・・
∞ では無限遠点はどこにあるのでしょうか・・・・・
無限遠点は存在するが、無限大という数は存在しない・・・・
加（+）・減（-）・乗（×）・除（÷） 除法（じょほう、英: division）とは、乗法の逆演算・・・・間違いの元 乗（×）は、加（+） 除（÷）は、減（-）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411588849/a37209195?sort=1&fr=chie_my_notice_canso
0×0=0・・・・・・・・・だから0で割れないと考えた。
アラビア数字の伝来と洋算 - tcp-ip
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/arabic_number.pdf
明治5年（1872）
割り算のできる人には、どんなことも難しくない
世の中には多くのむずかしいものがあるが、加減乗除の四則演算ほどむずかしいものはほかにない。
ベーダ・ヴェネラビリス
数学名言集：ヴィルチェンコ編：松野武 山崎昇 訳大竹出版1989年
地球平面説→地球球体説
天動説→地動説
1/0=∞ 若しくは未定義 →1/0=0
地球人はどうして、ゼロ除算1300年以上もできなかったのか？ ２０１５．７．２４．９：１０ 意外に地球人は知能が低いのでは？ 仲間争いや、公害で自滅するかも。 生態系では、人類が がん細胞であった とならないとも 限らないのでは？
リーマン球面における無限遠点は、実は、原点０に一致していました。
Einstein's Only Mistake: Division by Zero
http://refully.blogspot.jp/2012/05/einsteins-only-mistake-division-by-zero.html
ゼロ除算（100/0=0, 0/0=0）が、当たり前だと最初に言った人は誰でしょうか・・・・ 1+1=2が当たり前のように
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