Physicists Harness Twisted Mathematics to Make Powerful Laser

High-quality beams could be among the first practical applications of the booming field of topological physics

By Davide Castelvecchi, Nature magazine on February 5, 2018

A new approach of generating laser beams by channeling light waves through loops etched on a chip could lead to breakthroughs in photonics. Here, a standard laser emits a beam. Credit: mikcz Getty Images

Researchers have exploited the twisty nature of topological physics to produce a high-quality beam of laser light—a step that could lead to the first practical application of this burgeoning field. A team of physicists describes its device, and the theory behind the technology, in two studies published on February 1 in Science.

The demonstration “brings topological photonics substantially closer to real applications”, says Marin Soljai, a physicist at the Massachusetts Institute of Technology in Cambridge.

Topology is a branch of mathematics that studies shapes and their possible arrangements in space—from simple knotted loops to the higher-dimensional universes of string theory. Since the 1980s, physicists have discovered a number of states of matter that derive odd properties from topological phenomena, such as the way that magnetization—pictured as a field of arrows—winds around a material. (Some of the founders of the field received the 2016 Nobel Prize in Physics.)

In particular, theorists have predicted—and experimentalists have confirmed—that certain insulating solids can, counterintuitively, conduct electricity thanks to topological properties. The currents arise from flows of electrons on the materials’ surfaces, and they have a unique advantage: the wavy patterns—like knotted loops—can be difficult to disrupt. This feature, known as topological protection, enables electrons to flow unimpeded. It prevents electron flows from changing direction or bouncing back off imperfections, which decrease efficiency.

Physicists have also observed topological protection in electromagnetic waves. In a solid, topological effects emerge when electrons manoeuvre their way around the arrangement of atoms. Similarly, photons of light can be made to negotiate a material that has a regular pattern of gaps. “There are many types of topological phenomena that can happen in almost any wave system in nature, when you make it periodic,” says Soljai, whose team found some of the first experimental evidence of topological photonics about a decade ago.

A NEW WAY TO CHANNEL LIGHT

In the latest studies, Mordechai Segev of the Technion Institute in Haifa, Israel, and his collaborators used topological photonics to create a laser beam, in which the light waves are in phase.

The team etched an array of circular channels into the surface of a chip of semiconductor material, and cast infrared light onto the structure from above. The circles—each a few microns in diameter—caught light waves only of precise wavelengths, which then moved from one loop to the next.

In photonic systems, the direction of wave propagation is usually reversible. An effort last year to make a topological laser, led by Boubacar Kanté at the University of California, San Diego, used magnetic fields to constrain propogation.

But in Segev's system, some loops were asymmetrically shaped, which made the light flow preferentially in one direction. As the system received increasing energy from the infrared source, the circulating light pulse was reinforced, or amplified. Eventually, the light waves bounced out of an exit channel—pulsating in step as a focused laser beam.

The experiments, carried out with collaborators at the University of Central Florida in Orlando, showed that the lasers were more energetically efficient and produced higher-quality beams—meaning they came closer to being a perfect, sinusoidal wave—than similar lasers that don't use topology. Thanks to topological protection, “the system has inherited robustness against imperfections”, says Segev.

The devices by both Segev’s and Kanté’s teams are “very important and exciting developments”, says Mohammad Hefezi, a photonics researcher at the University of Maryland in College Park. But he says that more tests will be needed to confirm whether Segev’s laser performs better than existing devices.

Most physicists had been sceptical that topological photonics could be compatible with laser-light generation, Segev says. Although topological ideas first arose in the theory of solid-state matter and are seen by many researchers as promising for electronics, few practical applications exist. It’s no coincidence that the first topological devices to market could be in photonics. These systems are often easier to work with than solid-state ones, Soljai says. Researchers can create periodically patterned structures with almost any properties they want to pass light through, whereas the atoms in materials cannot be arranged in arbitrary ways.

This article is reproduced with permission and was first published on February 1, 2018.https://www.scientificamerican.com/article/physicists-harness-twisted-mathematics-to-make-powerful-laser/

とても興味深く読みました：

再生核研究所声明365（2017.5.12）目も眩むほど素晴らしい研究課題　―　ゼロ除算

（2017.5.11.4:45　頃　目を覚ましたら、突然表題とその構想が情念として湧いてきたので、そのまま　書き留めて置きたい。）

そもそもゼロ除算とは、ゼロで割る問題であるが、ゼロの発見者、算術の確立者が既に　当時、0/0=0としていたにも関わらず（Brahmagupta (598 - 668 ?). defined as $0/0=0$ in Brāhmasphuṭasiddhānta (628)）、１３００年以上もそれは間違いであるとして、現在に至っている。最近の知見によれば、それは　実は当たり前で、現代数学の初歩的な部分における大きな欠落で、現代数学の初歩部分は相当な修正、補充が要求されている。問題は、無限の彼方に対する概念が　無限と考えられていたのが　実はゼロであったとなり、ユークリッド幾何学の欠落部分が存在し、強力な不連続性が現れて、アリストテレスの世界観に反する世界が現れてきたことである。超古典的結果の修正、補完、新しい世界の出現である。

初等数学は　無限の概念や勾配が関係する部分で大きな変更が必要であり、２次曲線論ですら　修正が要求される。多くの物理学や数理科学に現れる公式において　分母がゼロのところで、新しい知見を探す、考えることができる。

ところで、数学とは何だろうかと問い、その中で、良い結果とは、

基本的であること、

美しいこと、

世の中に良い影響を与えること、

と述べて来た（No.81、2012年5月（PDFファイル432キロバイト） -数学のための国際的な社会...www.jams.or.jp/kaiho/kaiho-81.pdf）。

上記の観点で、想い出されるのは、ピタゴラスの定理、アインシュタインの公式、ニュートンの万有引力の公式や運動の法則、少し、高級であるが　神秘律　オイラーの公式　などである。

この観点で　ゼロ除算の公式

1/0=0/0=z/0=0

を掲げれば、その初歩的な意味とともに　神秘的に深い意味　を知って、慄然とするのではないだろうか。それゆえにゼロ除算の研究は　世界史的な事件であり、世界観に大きな影響を与える。ゼロ除算は初等部分から　神秘律に至る雄大な研究分野であると言える。

探そうゼロ除算、究めようゼロ除算の意義。神の意思を追求しよう。

ゼロ除算は、中学生からはおろか、小学生にも分かって　楽しめる数学である。実際、道脇愛羽さん（当時６歳）は、ゼロ除算の発見後３週間くらいで、ゼロ除算は当たり前と理由を付けて、述べていた。他方、多くの大学教授は　１年を遥かに越えても、理解できず、誤解を繰り返している面白い数学である。世界の教科書、学術書は大きく変更されると考えられる。多くの人に理解され、影響を与える研究課題は、世に稀であると言える。

以　上

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces

Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1

-16.　

http://www.scirp.org/journal/alamt　　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi

http://okmr.yamatoblog.net/

Relations of 0 and infinity

Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh　and Tsutomu Matsuura：
http://www.e-jikei.org/…/Camera%20ready%20manuscript_JTSS_A…

再生核研究所声明371（2017.6.27）ゼロ除算の講演―　国際会議　https://sites.google.com/site/sandrapinelas/icddea-2017　報告

http://ameblo.jp/syoshinoris/theme-10006253398.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html

ゼロ除算の論文リスト：

List of division by zero:
L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$, Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
T. Matsuura and S. Saitoh,
Matrices and division by zero z/0=0,
Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory, 2016, 6, 51-58
Published Online June 2016 in SciRes. http://www.scirp.org/journal/alamt
\\ http://dx.doi.org/10.4236/alamt.201....
T. Matsuura and S. Saitoh,
Division by zero calculus and singular integrals. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics.)
T. Matsuura, H. Michiwaki and S. Saitoh,
$\log 0= \log \infty =0$ and applications. (Submitted for publication).
H. Michiwaki, S. Saitoh and M.Yamada,
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. 6(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1....
H. Michiwaki, H. Okumura and S. Saitoh,
Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces,
International Journal of Mathematics and Computation, 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
H. Okumura, S. Saitoh and T. Matsuura, Relations of $0$ and $\infty$,
Journal of Technology and Social Science (JTSS), 1(2017), 70-77.
S. Pinelas and S. Saitoh,
Division by zero calculus and differential equations. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics).
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
S. Saitoh, A reproducing kernel theory with some general applications,
Qian,T./Rodino,L.(eds.): Mathematical Analysis, Probability and Applications - Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, {\bf 177}(2016), 151-182. (Springer) .

再生核研究所声明 404(2017.12.30): 　

ゼロ除算の現状　―　総合的な印象

ゼロ除算の著書を出版すべく執筆をしている。７００件を超えるメモ、記録を参照しながら一応の素案、原案を１５２ページに纏めた。ゼロ除算発見４周年を目前にしている。そこで、ふと思い湧く印象について述べて置きたい。

ゼロ除算発見　４周年　目前で、数理論の内容は初歩数学であるから、全体が何もかも当たり前に思え、７００件を超える知見も当たり前で、著書は簡潔に纏め切れると感じてきた。そのような折り、学位論文で提起、最初の著書で真正面から取り上げ、論じ、未解決の問題と述べてきた超難問が解けたとの論文が　北京大学のQi'an Guan氏から送られてきた。秀才の関係者も解けず、関与する数学者ももはや世界に存在せず、従ってもはや３００年以上も　もう解決できないだろうと考えてきた。最初の著書出版１９８８年からでもちょうど３０年を迎えている。全く予想できない発想、深い手段、複雑な構造、このような全く新奇な数学に驚嘆すると共に　北京大学の基礎の深さ、底力の大きさに驚嘆させられ、高貴な独創性、創造性、発想に感銘を受けている。　このような衝撃は友人の山田陽氏の研究などにも見られたが稀なる経験である。

この衝撃的な深い研究、高貴な理論に感銘している折りに、自らの著書、論文の位置づけについて思いを巡らすこととなった。

まずは、ゼロ除算の論理が、ゼロ除算の拓いた世界が当たり前と思える内容であるが、内容がアリストテレス、ユークリッド以来の世界観を変えるものである。　数学ではゼロ除算は未定義、不定性、不可能性が世の定説であるが、天才たちのいろいろな関与、昨年でも２編の大論文が発表されている。　ゼロ除算の永い、神秘的な歴史を回想すると、内容の意味の大きさと、理論の簡素さの大きな隔たりに、驚嘆させられる。極めて簡単な発見が、世界観の変更を要求している：

無限遠点はゼロで表される。すべての直線は原点を通り、ユークリッドの公理は成り立たない。　y軸の勾配はゼロ、\tan(\pi/2) =0であること。解析関数は孤立特異点で固有な値を取り、それが　重要な意味を持つこと。ゼロ除算の影響は初歩数学全般におよび、現代数学には大きな欠落、欠陥があるから、全般的に補充し、完全化されるべきである。極めて簡単な数学が、発見されて大きな影響を広く与える事実である。この差の大きさを　現代数学の目も眩むような高度さ、深さ、徹底した論理の厳格さの視点から思うとき、誠に奇妙な事件に思われて仕方がない。　余りにも大きな新規な結果に、そんなものは受け入れられないとは　多く人の印象であり、論文を相当発表、学会や国際会議でも講演を行っているにも関わらず、４年近く経っても公認の形にはなっていないようである。世間では新しい、基本的な数学が知られていないと言える。――　我々の空間の認識がアリストテレス、ユークリッド以来　間違っているにも関わらずである。

ゼロ除算 0/0=0は　算術の創始者、ゼロの発見者　Brahmagupta　(598 -668 ?)　によって定義されていたにも関わらず、それは間違いであるとして１３００年を超えて続いており、さらに、新たな説、論文が出版されている実におかしな状況にある。しかるに我々は　ゼロ除算は既に当たり前であるとして、沢山の証拠を掲げて解説、説得を続けているが、理解は着実に進んでいるにも関わらず、理解は深くはなく、遅々として夜明け前のぼんやりしているような時代であると言える。数学者は、真実に忠実でなければならないのに、数学の研究では、論理には、感情や私情、予断、思い込みを入れてはならないのに、それが、数学の精神であるはずなのに　かえって、数学者が予断と偏見、私情に囚われている状況が皮肉にも良く見える。　それは、ゼロ除算の理解が、素人の方の方が理解しやすい状況に現れている。　―　数学は　絶対的に　厳格な論理でできているはずであるから、基礎が揺るぐはずがないとの信仰、信念を有しているためであろう。しかしながら、人間精神の開放と自由を求めて、非ユークリッド幾何学の出現から、人は大いに学ぶべきではないだろうか。　絶えず、人は何でも疑い、　と　問うべきである。　―　人間存在の意義は　真智への愛にある。

今回の著書原案では一通り全体を纏めてみたが、全体の様子は、まずゼロ除算の導入をきちんと行い、論理をしっかりさせ、確立させ、歴史的な背景を述べ、ゼロ除算算法の考え方とその有効性を示す具体例を沢山述べた。それで、今まで、考えなかった世界の自然な大きな世界が良く見える様になるだろう。この時、我々の数学が、空間の認識が、如何に不完全なものであったかを　明白に理解されるだろう。

ゼロ除算のこの著書は　第１歩であり、いわば初歩入門書である。　本格的なゼロ除算の研究はここから始まると考えたい。Qi'an Guan氏のような数学者や、物理学者が現れて、ゼロ除算の世界は、面目を一新させ、目も眩むほどに発展させるだろうことを　信じて疑わない。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以　上

再生核研究所声明 405(2017.12.31): 　ゼロ除算が拓いた幾何学の現象　―　堪らなく楽しい新奇な現象　－　デカルトの円定理から

図と式の表現が表しにくいので　簡単に参照されるサイトhttps://arxiv.org/abs/1711.04961

を挙げて　その中の図と式を参照して頂いて、ゼロ除算が如何に面白いかを解説したい。

まず、始めにデカルトの円定理と呼ばれる美しい定理を参照して下さい。3つの円が外接するときに、それらに内接したり、外接する円の半径の間の関係を確立した定理です。

式は美しいのですが、表現で４つの半径は、完全に対称になっていることに気づけばさらに　美しさを深く理解できます。

論文の発想は、そもそも、点や直線は円の特別な場合と見なせるという数学を想起して、デカルトの円定理で述べた基の３つの円を　点や直線に置き換えた場合にも成り立つかと問題にしました。　点は半径ゼロの円ですが、直線も半径ゼロの円だということはゼロ除算の結果導かれた発見です。すると、デカルトの円定理の式で、1/0 　が出てきますが、それらはゼロと解釈すれば　良いとなります。それで、２つが円で、もう一つが共通接線である場合を考えると、図１－２のようですが、きれいに成り立っていることが分かります。　この辺の定理、事実は和算の得意とする分野で、デカルトの円定理も含めて和算でも広く知られていたということです。３つの円が、点や直線になった場合をすべて考えてみて何時でも成り立てば、デカルトの円定理は　一層美しいと言えます。　あらゆる場合を考えるのですが、２つが円で、一つが点の場合、それらに接する円は存在しないようですので、その場合デカルトの円定理は成り立たないようにみえます。

そこで、点では成り立たないので、小さな円の場合を考えて、その円を点にした場合にどうなるかを考えてみました。どんな小さな円でもデカルトの円定理は成り立っていますから、その小さな円の半径がゼロに近づいた場合を　考えてみるとどうなるかと考えたくなります。

数学的に厳格に議論するために、３つの円と内接円（外接円）をきちんと方程式で書いて議論しました。　円を点にするとき、　円の表現は孤立特異点を有していて、そこでは考えられないというのが　現代数学です。　ゼロ分の式はゼロのところで考えられないからです。　例えば、定理７の円の方程式で、z = 1,-1 の場合が考えられる。そこで、意味のある図形が出てくる。　ゼロ除算算法では孤立特異点で有限確定値を与えることができますので、今まで考えられなかった特異点で考えみました。―　無限の彼方が、特異点に成る場合も多い。その結果、驚嘆すべきことが起きていることが分かりました。（この辺の記述は厳密な表現より情念に思いを入れました）。

その特異点から、点円原点と、赤い円と青い円が出て来ることが分かりました。点がこれらの３つに分かれて出てきたという実に面白い現象です。　原点の場合にはデカルトの定理が成り立ちませんが、赤い円では、何とデカルトの円定理が成り立っていることが、ゼロ除算算法での計算の結果から確認できます。　青い円は美しい状況に置かれた円ですが、それは点に近づけた円が、突然、元の２つの円に外接する、しかもちょうどそれらの円を直径にする円に変形したと解釈すると、ちょうど内接する円が　緑の円で、デカルトの定理が成り立っているという、驚嘆すべき現象です。

点に成って定理が成り立たない場面で、点が突然変異を起こして定理をそのまま成り立たせている現象が現れたと発想すると、この現象は世の一般的な現象における新規な現象として注目すべきではないでしょうか。　見かけ上成り立たない場合、そこが変形して成り立たせる世界が存在する。　―　ものは燃焼で変形する、変形以前のあるものは変形してもそのまま、引き継がれている。意味深長では　ないだろうか。―　山根現象を想起して下さい。　―　これは、運動エネルギーが一定であったものが　ある時、物質は突然消えて、物質は消えて運動エネルギーが熱エネルギーに変化する現象を表しています。

赤い円は、美しいので、その分野の有名なバーコフの円と呼ばれる円ですが、２つの円に直交していますが、点に近づいていくとき、　円は接していたのですが、出てきた円は接するのではなくて、直交でしょうか。　実に面白いことは　ゼロ除算が発見した典型的な結果として、ｙ軸の勾配はゼロ、\tan(\pi/2) =0　ですから、バーコフの円は２つの円に接しているということを述べていますから、　堪らなく楽しいと言えます。―　直交は接していると解釈できるという新発見です。　緑の円は美しく３つの円に接しています。

論文では、あらゆる場合を考えたと述べていますので、３つの円が３つの点でも、３本の直線の場合も考えて、デカルトの定理は成り立っていると述べていますので、さらに面白いです。それには、ゼロの意味を考えてゼロとは何かを発見する必要が有ります。

以　上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

２０１７．１２．２９．１４：１７　アーカイブ審査の上、公表された。超古典的な考えに間違いがあると書いてあるので、担当者は慎重に扱った。http://arxiv.org/abs/1712.09467

再生核研究所声明 413(2018.2.3): 考え方によっては、どちらでも有り得る

憲法改正すべきか否か。核武装すべきか否か。原発を廃止すべきか否か。などなど大きな問題が提起され、強い主張もそれぞれの立場で表明されている。この声明の趣旨は世の多くの問題は、考え方、見方で、いろいろあり得て、一方が正しく他方が間違っているとは言えない要素が強いということを述べたいということである。それで、固定観念に拘らず、相手の立場、意見に思いを寄せてできるだけ広い視野を持ち、人の意見や判断に耳を傾けないような態度をとるべきではなく、余裕と友誼の精神であるべき在りようを求めたい。真智への愛で　物事の本質に迫って在るべき姿を求めていきたい。

憲法は、本来敗戦で、戦勝国の強い意向を受けて理想的な国の在り様を求めて作られているが、アメリカの庇護も有って平和憲法として交戦権の否定や明確な意味に於ける再軍備を禁じている。日本の周辺国が平和憲法の精神に呼応しているとは言えず、アメリカも日本の自立を求めるような状況の中では、憲法を改正、徴兵制や核武装も志向すると言っても、何らおかしくはなく、それはそれで正論でありもっともな考え方である。しかしながら、そのような在りように対して、もし、憲法改正をこのような方向で行えば、当然の理である作用、反作用の原理で、周辺国が警戒を強め、軍拡競争を齎し、結局、何も良い影響を与えず藪蜂のような　軍拡競争の愚の流れに行くであろう。日本国として、軍事を抑制して、平和憲法の精神で、別格の国家の在り様を志向したいと考えるのも魅力的な　賢明な在りようであろう。しかし、どのような場合にも、国の安全は大事であり、広範な安全の在り様を進めるのは当然である。反作用の道理を考えれば、周辺諸国に脅威を与えないような配慮は賢い在りようである。情報力、文化力、経済力は普遍的な国力の象徴である。

原発問題は、もっと問題が複雑で扱いが不明ではないだろうか。一つには国家が総能力を掛けて推進してきた事実が存在し、またいわゆる欧米先進国、ロシア、中国なども開発して来た重い事実が存在する。およそ科学には利の面と危険な要素が本質的に存在する。そのような事業、俄かに全面廃止という訳には行かないのは、慣性の法則から言って道理ではないだろうか。しかし、日本の指導者、小泉氏、細川氏、菅氏などが高い立場、視点から反対を表明されている事実は重く尊重されるべきであり、原発に　慎重になり、ブレーキを掛けて行くのは　良い在りようと多くの人は判断されるのではないだろうか。

世の多くは、永い歴史の上に現在、現実があり、現状はそれなりに尊重して、在るべき在りようを慎重に考えるべきではないだろうか。多くは絶対的な在りようなどは存在せず、考えよう、場合、場合によって在りようが考えられると考えるべきではないだろうか。人は、よく、あれかこれか、どちらか　か、マルかバツか　の問いかけを行うが、本当に狭い、単細胞的視野、思考で世の中を見ているのが　人の現状ではないだろうか。人は　独断、偏見、思い込み、生い立ちの習慣、性格などで勝手に考え、見たりしていて、視野が狭く、議論もエゴの立場のぶっつけ合いで、実りある議論になっていないように見える。―　背後に　より良い社会を築くためには、良い国、世界を築くためには　の大義が弱く、自己の立場を中心に自己主張し過ぎの背景があるためではないだろうか。

例えばゼロ除算1/0=0/0=a/0= 0を発見して４年を過ぎたが、未だに　世の中では、ゼロ除算は不可能であるとの狭い従来の世界観に拘っていて、おかしな世界観にしがみついている現状がみられる。ゼロ除算の真相は、人間の独断、偏見、思い込みが　いわゆるマインドコントロールされているように　如何に深いものであるかを　教えてくれるだろう。

要するに、世の中のことは、場合、場合により、状況によっていろいろ考えられると心得えれば、相当良いのではないだろうか。

以　上